回答者の皆様、いつもお世話になります。
微分方程式 (x^2+1)y´-xy=0 です。
単純に変数分離して (x^2+1)y´=xy
y´/y=x/(x^2+1)
(dy/dx)・(1/y)=x/(x^2+1)
∫1/y dy=∫x/(x^2+1) dx
log|y|+C1=log|x^2+1|^(1/2)+C2 (Cは積分定数です)
ここからが自信がありません…
log|y|+loge^C1=log|x^2+1|^(1/2)+loge^C2
log{|y|C1}=log{|x^2+1|^(1/2)C2}
|y|C1=|x^2+1|^(1/2)C2
|y|={ |x^2+1|^(1/2)C2 }/C1
y=±{ |x^2+1|^(1/2)×(C2/C1) }
∴ y=±{ |x^2+1|^(1/2)C }
(任意定数Cにより±を明記する必要がなくなりますよね?)
y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか?
お手数をお掛けいたします。
又、別の問題になるのですが、
y´´´-3y´´+3y´-1y=e^(2x)+xという問題ですが、
右辺をxの一次式として考えて、2階微分すれば0なので、
3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか?
それとも、特性方程式を3次式としてカルダノの解法を考えるべきなのでしょうか?
アドバイスをお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1)
>y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか?
言えますよ。
しかし、積分定数を2つも置くなど回り道をしている感じがします。効率よく解くとよいと思います。
>y´/y=x/(x^2+1)
dy/y=xdx/(x^2+1) ← 早めに y' を dy/dx に変えましょう。
log|y|=(1/2)log|x^2+1| +C ←積分定数は片方だけにしましょう。
y=C'√(x^2+1) ← C'=±exp(C) として定数を置き直します。
2)
>右辺をxの一次式として考えて、2階微分すれば0なので、
>3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか?
右辺に e^(2x) があるので、よくありません。
e^(2x) の冪級数展開を考えれば分かりますが、xの無限乗の多項式になります。
e^(2x)=Σ[n=0→∞] (2x)^n/n! = 1+2x+2x^2+4x^3/3+2x^4/3+・・・
ここは特性方程式を考えても、微分演算子Dを考えても構いません。
特性方程式にすれば t^3-3t^2+3t-1=(t-1)^3 と3重解になりますので、同次方程式の一般解が次のように得られます。
(同次方程式の一般解) y=Ae^x+Bx*e^x+Cx^2*e^x (A,B,C:積分定数)
次に、非同次方程式の特殊解を求めます。
まず、右辺がxだけのときについて考えますと、yはxの1次式 y=ax+b と考えることができますので、部分方程式に入れて a+b=0,a=-1 から y=-x+1 が得られます。
そして、右辺がe^(2x)だけのときについて考えますと、y=e^(2x) であれば微分方程式を成立させることが分かります。
以上のことから、与えられた微分方程式の一般解は次のように求められます。
(非同次方程式の一般解) y=Ae^x+Bx*e^x+Cx^2*e^x +e^(2x) -x+1 (A,B,C:積分定数)
先日からお世話になり、ありがとう御座います。
最近、少しだけ微分方程式への抵抗感がなくなってきました。
苦手な分野には違い無いのですが…orz
>>右辺に e^(2x) があるので、よくありません。
深く考えず、先日教えていただいた方法を適用してしまいました。
>>e^(2x) の冪級数展開→xの無限乗の多項式
代数学の科目でやりました…ちょっと考えれば気づけそうなのに…
ともあれ、とても参考になりました、ありがとう御座います。
No.2
- 回答日時:
>log|y|+C1=log|x^2+1|^(1/2)+C2 (Cは積分定数です)
C1を右辺に移項する
log|y|=(1/2)log|x^2+1|+C2-C1
両辺を2倍するとx^2+1>0なので
log(y^2)=log(x^2+1)+2(C2-C1)
=log(x^2+1)+log(e^(2(C2-C1)))
=log(x^2+1)+logC
ここで C=e^(2(C2-C1))(C>0) と置くと
log(y^2)=log(C(x^2+1))
y^2 =C(x^2+1) (C>0) …(■)
となります。
上記のようにすれば±も出てきません。
>∴ y=±{ |x^2+1|^(1/2)C }
>(任意定数Cにより±を明記する必要がなくなりますよね?)
>y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか?
言えません。
上の(■)とは微妙に違いますね。
yの正負とCの符号の関係が明確に表現
できておらず減点対象になるでしょう。
>y'''-3y''+3y'-y=e^(2x)+xという問題ですが、
独立した質問として下さい。
>右辺をxの一次式として考えて、2階微分すれば0なので、
>3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか?
だめです。
>それとも、特性方程式を3次式としてカルダノの解法を考えるべきなのでしょうか?
簡単に因数分解できるのでそこまで考える必要ないでしょう。
y'''-3y''+3y'-y=0の特性方程式は
s^3-3s^2+3s-1=(s-1)^3=0
∴s=1(3重解)
なのでy'''-3y''+3y'-y=0の一般解は
y=(C1*x^2 +C2*x+C3)e^x
となります。
これに特殊解を加えれば良いでしょう。
いつもありがとう御座います。
>>yの正負とCの符号の関係が明確に表現
>>できておらず減点対象になるでしょう。
とても参考になります。ご指摘の通り”yの正負とCの符号の関係”が分かっていませんでした。
>>独立した質問として下さい
すいません、失礼しました。
今回ご指導いただいた、info22_さんとMr_Hollandさんのどちらのご回答も的確ですので、先にご回答いただいたMr_Hollandさんをベストアンサーにさせて頂きます。ご了承、お願いします。
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