袋から取り出す個数について

同じ形の金、銀、プラチナのイヤリングがそれぞれ9組（18個）、合計27組（54個）ある。これらをばらばらにして1つの袋の中に入れた。今、中の見えないこの袋からイヤリング何個かを一度に取り出し、イヤリング10組（20組）を確実にそろえるために、最低何個のイヤリングを取り出せばよいか。

解答では22個となっているのですが、考え方が全然思いつかなく困っています。
やり方を教えてもらないでしょうか。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/03 01:42

10組(20個)が丁度揃った時点で、手元に半端のイヤリングが何個あるか、考えればよい。

最後に揃った組が金だとすると、手元の半端は銀1個プラチナ1個の計2個が最大。
最後に銀やプラチナが揃う場合も、同様。
従って、20個＋2個取り出せば、確実に10組揃うことになる。

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/12/06 05:33

金,銀,プラチナをそれぞれa,b,c個(a,b,cは整数)

i,j,k組(i,j,kは整数)取り出したとする
a=b=c=7 の場合、
a+b+c=21
2i+1=2j+1=2k+1=7
i=j=k=3
i+j+k=9<10
21個取り出しても10組そろわない場合があるから
22個以上取り出す必要がある。

a+b+c=22　の場合、
a,b,cがすべて偶数とすると
a=2i,b=2j,c=2k
i+j+k=11,となり11組>10組以上そろう
a,b,cのどれかが奇数である場合、
a,b,cを入れ替えてaを奇数とすると
a=2i+1
2i+1+b+c=22
b+c=21-2i
b+cは奇数だからbとcのどちらか一方が奇数で他方が偶数となる
b,cを入れ替えてbを奇数,cを偶数とすると
b=2j+1,c=2k
(2i+1)+(2j+1)+2k=22
i+j+k=10,となり10組そろう
∴
22個取り出せば必ず10組そろう

No.3 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/12/03 01:57

イヤリング9組を取りだすのに必要なイヤリングの最低個数は18個ですね。

ここで、総組数9を増やさずに、総個数をなるべく増やそうとすると、金、銀、プラチナのイヤリングを各1個ずつ足すことになります。このとき、総個数は21個です。

ここからさらに1個でも足すと総組数は10組になります。つまり、22個取り出せばかならず10組はできている、ということです。したがって、答えは22個。


簡潔に言うと、イヤリング9組を作る時の総個数の範囲(18個～21個)を求めて、その範囲の上限に1個足せば確実に10組はできていることになるよね、ということです。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/12/03 01:46

　左右のイヤリングは同じ形なのですよね。

　でしたら、10組（20個）揃ったときに袋から取り出したものの何個が組にならないかを考えると良いと思います。
　そうすると、組にならず残る最大の個数は単純に考えると金・銀・プラチナが1個ずつの3個になります。
　しかし、このような状態になるためには、2種類1個ずつの状態を経なければなりません。
　従って、10組ができた時点で　組にならずに残る最大の個数は　2個　です。
　このことから　　20個+2個＝22個　　と求められます。