線形代数 証明

線形代数の証明がわからず困ってます>_<;

rank(A)=r ⇔ Aの小行列のうち行列式が0でないものの最大次数はrである。

この定理の証明がわかりません…

わかる方いらっしゃいましたら
よろしくお願いいたします！

No.1 ベストアンサー 回答者： Willyt 回答日時： 2010/12/10 16:33

これは実は行列のランクの定義なのです。

ですから、これを証明しろと言われること困ってしまいますね。つまり、行列式がゼロでない小行列を取り出して　Ａ・｛ｘ｝＝｛ｂ｝　という連立一次方程式を作ると解が不定にならない（つまり解ける）ということなんですよね。これを満たす最大の小行列の次数が ｒ のとき、元の行列のランクが　ｒ　であるとするのです。

この回答への補足

お返事ありがとうございます！
定義だったんですね。

ご丁寧に説明ありがとうございました！

補足日時：2010/12/11 23:26

No.3 回答者： tmpname 回答日時： 2010/12/10 18:21

質問者ではありませんが、私が持っている本では

体Kの(m,n)行列Aに対し、一次写像f_a:K^n ->K^mを
f_a (x) = Ax (x ∈ K^n)で定める時、f_aの階数
(つまりdim(Im f_a) )をAの階数という

となってますね

この回答への補足

補足ありがとうございます！

私の使っている参考書は入門編だったので、
とてもやさしい書きかたで定義が載っていました^^

補足日時：2010/12/11 23:28

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/10 17:19

#1 で言われているように, これをランクの定義とすることが普通です. だから, あなたのいう「ランク」がこのように定義されているのであれば「定義から」というだけで終わり.

違う定義をしているというのであれば, まずその定義を示してください.

この回答への補足

お返事ありがとうございます！

定理だと思っていたんですが通常では定義なんですね。
この問題は使っている参考書に載っていたんですが
その教科書ではrankについて

行列Aの簡約化をBとするとき
rank(A)=Bの零ベクトルではない行の個数
とおき、Aの階数という

となっていました。
これってこの問題で言ってることと同義でしょうか？
数学が苦手なもので、基本的な質問になってしまいますが
よろしくお願いしますm(_ _)m


ちなみにこの問題の簡易版の解答では
「一般化して説明する」とだけ書いてありました。

補足日時：2010/12/11 23:21