モンティホール問題の解答で１点質問あります

ゲームのルール(Wikipediaからコピペさせてもらいました)
(1) 3つのドア (A, B, C) に（景品、ヤギ、ヤギ）がランダムに入っている。
(2) プレイヤーはドアを1つ選ぶ。
(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける。
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。
(5) モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと必ず言う。
これで、プレイヤーがドアを変更しない場合の景品をもらえる確率と
ドアを変更する場合の景品をもらえる確率をある本では次のように求めていました。


(変更しない場合)
プレイヤーがドアを選ぶ方法は
・Aを選択→景品
・Bを選択→ヤギ
・Cを選択→ヤギ
よって景品をもらえる確率は1/3

(変更する場合)
プレイヤーがドアを選ぶ方法は
・最初にAを選んだとき→ヤギ
・最初にBを選んだとき→Cを見せられAに変更→景品
・最初にCを選んだとき→Bを見せられAに変更→景品
よって当たる確率は2/3


とありました。
質問は(変更する場合)の
『・最初にAを選んだとき→ヤギ』
というのを
『・最初にAを選んだとき→Bを見せられCに変更→ヤギ』と
『・最初にAを選んだとき→Cを見せられBに変更→ヤギ』として
当たる確率は2/4
とするのではなぜダメなのですか？

解答のままだと
「最初にAを選んでヤギ」という事象と「最初にBを選んで景品」という事象と「最初にCを選んで景品」という事象は
同様に確からしいとは言えないような気がします。
(「最初にAを選んでヤギ」からさらに２通りの場合が考えられるから。)

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/12/15 23:59

＞『・最初にAを選んだとき→Bを見せられCに変更→ヤギ』と

＞『・最初にAを選んだとき→Cを見せられBに変更→ヤギ』として
＞当たる確率は2/4
＞とするのではなぜダメなのですか？

なぜ、2/4と考えたんでしょうか。
４つある事象のうち２つが景品だから？


・最初にAを選んだとき→ヤギ
・最初にBを選んだとき→Cを見せられAに変更→景品
・最初にCを選んだとき→Bを見せられAに変更→景品
としたときの当たる確率が2/3なのは、３つの事象うち２つが景品だからではなく、
３つのドア(A,B,C)のうち、最初にAを選ぶ確率、Bを選ぶ確率、Cを選ぶ確率がそれぞれ1/3づつだからです。


事象を４つに分けた場合でも、それぞれの確率が1/4になるのではなく、
・最初にAを選んだとき→Bを見せられCに変更→ヤギ ---- 1/6
・最初にAを選んだとき→Cを見せられBに変更→ヤギ ---- 1/6
・最初にBを選んだとき→Cを見せられAに変更→景品 ---- 1/3
・最初にCを選んだとき→Bを見せられAに変更→景品 ---- 1/3
となって、当たる確率2/3は同じです。

No.2 回答者： Ishiwara 回答日時： 2010/12/16 13:58

1/4 最初にAを選んだとき→Bを見せられCに変更→ヤギ

1/4 最初にAを選んだとき→Cを見せられBに変更→ヤギ
1/4 最初にBを選んだとき→Cを見せられAに変更→景品
1/4 最初にCを選んだとき→Bを見せられAに変更→景品

という場合分けが間違いです。

最初は「まったく情報がない」状態から始めるのですから、Ａ・Ｂ・Ｃを選ぶ確率は平等です。
したがって、

1/3 最初にAを選んだとき→ 1/6 Bを見せられCに変更→ヤギ
---------------------- 1/6 Cを見せられBに変更→ヤギ
1/3 最初にBを選んだとき→Cを見せられAに変更→景品
1/3 最初にCを選んだとき→Bを見せられAに変更→景品

という場合分けが正解です。