なぜ超幾何微分方程式という名前なのですか？

超幾何微分方程式という言葉を見ましたが、
なぜ超幾何とは一体なんですか？？
あと合流型ってどんな意味で合流なのですか？？
ご存じの方、宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/01/11 13:26

a_n=(a_0)r^n

とするとき
Σ_{k=0～n}a_kを等比級数(幾何級数)といい、
公比
a_{n+1}/a_n=r
はnに関係なく一定(等比)となるが、

a_0=1
n≧1
a_n=Π_{k=0～n-1}(α+k)(β+k)/(γ+k)}x^n
とするとき
Σ_{k=0～n}a_k
を超幾何級数といい
公比
a_{n+1}/a_n=(α+n)(β+n)x/(γ+n)
は、nに関係して変化するため、
幾何級数(等比級数)を超えているという意味があると思われる。
そしてこの超幾何級数
F(α,β,γ;x)=1+Σ_{n=1～∞}{Π_{k=0～n-1}(α+k)(β+k)/(γ+k)}x^n
を解とする微分方程式を
超幾何微分方程式という。

微分方程式
(1+x)y'=ny
の解
y=(1+x)^n=F(n,1,1;x)
は超幾何級数だから
(1+x)y'=ny
は超幾何微分方程式

微分方程式
(1+x)(y+xy')=1
の解
y={log(1+x)}/x=F(1,1,2;x)
は超幾何級数だから
(1+x)(y+xy')=1
は超幾何微分方程式