確率密度の畳み込み

現在確率について勉強していますが、次のような場合どのような計算をすればいいのかよく分かりません。どなたか詳しい方、ご教授ください。

AくんとB君は毎日じゃんけんをします。そのじゃんけんをする回数は毎日一定ではなく、ガウス分布で平均μ回、分散はσ^2とします。
さらに、A君がB君に勝つ確率はpとし、その確率分布は2項分布に従うものとします(0.5でもいいのですが一般的なものとしてpにしました。)

これらの条件でA君がB君に1日にx回勝つ確率分布h(x)を出してみたいと思っています。

2項分布のままだと計算しにくいのでこれも、ガウス分布としてt回じゃんけんしたときの平均勝利数をtp,分散をtp(1-p)とすることにしました。

私の考えでは、
h(x)=∫{(1/sqrt(2pi*tpq))*exp((x-tp)^2/(2tp(1-p))}*{(1/sqrt(2pi*σ^2)*exp((x-μ)^2/(2σ^2))}dt
ではないかと考えているのですが、どうも自信がありません。

詳しい方よろしくお願いします。

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2011/01/21 18:23

計算は合っています。

しかし、問題の立て方が良くないと思います。

本来離散分布に従うじゃんけんの回数を、正規分布という連続分布で近似するのは、μが大変大きいという想定があるのでしょう。また、本来負の値にならないじゃんけんの回数を、負の値をとり得る正規分布で近似するのは、σ/μが一定数より小さいという想定があるのでしょう。

そこで、h(x)の式を、μが大変大きくσ/μが一定数より小さい、という前提で眺めてみます。右辺において、σ/μが有界という条件でμ→∞の極限をとると、すべてのxで0に収束することが確かめられます。つまり、この式は、与えられた前提のもとで、h(x)がほぼ恒等的に0だということを示しているに過ぎないのです。式の複雑さに惑わされてはいけません。

２つの解決方法があります。多くのじゃんけん（無限回と思えるほど）を想定する場合は下の（１）でも良いでしょうが、個人的には、（２）が好みです。以下、μは、じゃんけんの回数の期待値を指します。

（１）大きなμを想定する場合

上の問題は、そもそも、無限大に発散するxというものの確率分布を求めようとしたところに原因があります。そこで、xの代わりに、x/μの確率密度関数を求めるように方針転換することが考えられます。

（２）小さなμを想定する場合（あるいはμが大きくても小さくても使えるようにしたい場合）

μが小さいときは、じゃんけんの回数や勝つ回数を正規分布で近似するのを、あきらめなければなりません。勝つ回数は、２項分布を使えばいいでしょう。じゃんけんの回数は、何らかの離散分布を想定する必要があります。ポアソン分布を考えてみるのも、手です。

ちなみに、じゃんけんの回数をポアソン分布で考えた場合は、Xの分布は、下のとおり、平均pμのポアソン分布となります。無理をして正規分布で近似するより格段にシンプルだと思いませんか？

　　T　じゃんけんの回数
　　X　勝つ回数

　　Pr(T=t) = exp(-μ)μ^t / t! （ポアソン分布）
　　Pr(X=x | T=t) = t!/(x!(t-x)!)×p^x×(1-p)^(t-x) （２項分布）
　　h(x) = Pr(X=x) = ∑[t = 0 to ∞] Pr(X=x | T=t) Pr(T=t)
　　　　　　= exp(-pμ)(pμ)^x / x! （ポアソン分布）