プロが教えるわが家の防犯対策術!

現在確率について勉強していますが、次のような場合どのような計算をすればいいのかよく分かりません。どなたか詳しい方、ご教授ください。

AくんとB君は毎日じゃんけんをします。そのじゃんけんをする回数は毎日一定ではなく、ガウス分布で平均μ回、分散はσ^2とします。
さらに、A君がB君に勝つ確率はpとし、その確率分布は2項分布に従うものとします(0.5でもいいのですが一般的なものとしてpにしました。)

これらの条件でA君がB君に1日にx回勝つ確率分布h(x)を出してみたいと思っています。

2項分布のままだと計算しにくいのでこれも、ガウス分布としてt回じゃんけんしたときの平均勝利数をtp,分散をtp(1-p)とすることにしました。

私の考えでは、
h(x)=∫{(1/sqrt(2pi*tpq))*exp((x-tp)^2/(2tp(1-p))}*{(1/sqrt(2pi*σ^2)*exp((x-μ)^2/(2σ^2))}dt
ではないかと考えているのですが、どうも自信がありません。

詳しい方よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

計算は合っています。

しかし、問題の立て方が良くないと思います。

本来離散分布に従うじゃんけんの回数を、正規分布という連続分布で近似するのは、μが大変大きいという想定があるのでしょう。また、本来負の値にならないじゃんけんの回数を、負の値をとり得る正規分布で近似するのは、σ/μが一定数より小さいという想定があるのでしょう。

そこで、h(x)の式を、μが大変大きくσ/μが一定数より小さい、という前提で眺めてみます。右辺において、σ/μが有界という条件でμ→∞の極限をとると、すべてのxで0に収束することが確かめられます。つまり、この式は、与えられた前提のもとで、h(x)がほぼ恒等的に0だということを示しているに過ぎないのです。式の複雑さに惑わされてはいけません。

2つの解決方法があります。多くのじゃんけん(無限回と思えるほど)を想定する場合は下の(1)でも良いでしょうが、個人的には、(2)が好みです。以下、μは、じゃんけんの回数の期待値を指します。

(1)大きなμを想定する場合

上の問題は、そもそも、無限大に発散するxというものの確率分布を求めようとしたところに原因があります。そこで、xの代わりに、x/μの確率密度関数を求めるように方針転換することが考えられます。

(2)小さなμを想定する場合(あるいはμが大きくても小さくても使えるようにしたい場合)

μが小さいときは、じゃんけんの回数や勝つ回数を正規分布で近似するのを、あきらめなければなりません。勝つ回数は、2項分布を使えばいいでしょう。じゃんけんの回数は、何らかの離散分布を想定する必要があります。ポアソン分布を考えてみるのも、手です。

ちなみに、じゃんけんの回数をポアソン分布で考えた場合は、Xの分布は、下のとおり、平均pμのポアソン分布となります。無理をして正規分布で近似するより格段にシンプルだと思いませんか?

  T じゃんけんの回数
  X 勝つ回数

  Pr(T=t) = exp(-μ)μ^t / t! (ポアソン分布)
  Pr(X=x | T=t) = t!/(x!(t-x)!)×p^x×(1-p)^(t-x) (2項分布)
  h(x) = Pr(X=x) = ∑[t = 0 to ∞] Pr(X=x | T=t) Pr(T=t)
      = exp(-pμ)(pμ)^x / x! (ポアソン分布)
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。

畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。
aを正の定数とする。実数値をとる確率変数X、Yが独立に密度関数
f(x)=ae^(-ax)(x≧0),0(x<0),
g(y)=(a+1)e^(-(a+1)y)(y≧0),0(y<0),
に従うとき、その和の密度関数U=X+Yを求めよ
という問題です。。。
畳み込みの公式にいれてみたのですが、最後まで計算ができない(eが発散してしまいました)

お願いします

Aベストアンサー

ポイントは:
      x≧0
 かつ y=u-x≧0 ,
よってxの積分領域は[0,u] です。

これ以上書くと余計かもしれませんが,結果を計算したのでご参考ください。

別解は,逆フーリエ変換を用いるもので,指数分布の場合,zの積分領域を心配する必要がありません。

私はこれから日本で数理統計を学びたい準留学生です。一緒に頑張りましょう。

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z


人気Q&Aランキング