球と円柱の共通部分の体積

「原点を中心とする半径Rの球x^2+y^2+z^2=R^2と半径R/2の円柱x^2+y^2≦Rxの共通部分の体積を求めよ。」
この問題ののアプローチが分かりません。
どういう状態なのかをイメージすることができますが、具体的に計算で体積を求めるにはどういった解法を用いるのか、ひらめきません。
分かる方、指南よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/27 20:10

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦ｙ、でｚ方向に０→√(R^2-x^2-y^2)だから、

V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
ｒ：0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

参考URL：http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

この回答へのお礼

極座標変換がカギだったのですね。
参考ページも載せていただき助かりました。
どうも、ありがとうございました！

お礼日時：2011/01/30 16:55

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2011/01/27 20:03

原点を中心とする半径Rの球；x^2 + y^2 + z^2 = R^2と半径R/2の円柱；x^2 + y^2≦Rxの共通部分の体積

極座標表示してx = rcosθ , y = rsinθ とおく。

所望の体積をVとすれば
V = 2・∫[-π/2,π/2]dθ∫[0,Rcosθ]{√(R^2－r^2)}rdr
で求まる・・・！

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます！
早速計算してみたいと思います。

お礼日時：2011/01/27 22:28