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「原点を中心とする半径Rの球x^2+y^2+z^2=R^2と半径R/2の円柱x^2+y^2≦Rxの共通部分の体積を求めよ。」
この問題ののアプローチが分かりません。
どういう状態なのかをイメージすることができますが、具体的に計算で体積を求めるにはどういった解法を用いるのか、ひらめきません。
分かる方、指南よろしくお願いいたします。

gooドクター

A 回答 (2件)

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦y、でz方向に0→√(R^2-x^2-y^2)だから、


V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
r:0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
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この回答へのお礼

極座標変換がカギだったのですね。
参考ページも載せていただき助かりました。
どうも、ありがとうございました!

お礼日時:2011/01/30 16:55

原点を中心とする半径Rの球;x^2 + y^2 + z^2 = R^2と半径R/2の円柱;x^2 + y^2≦Rxの共通部分の体積



極座標表示してx = rcosθ , y = rsinθ とおく。

所望の体積をVとすれば
V = 2・∫[-π/2,π/2]dθ∫[0,Rcosθ]{√(R^2-r^2)}rdr
で求まる・・・!
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます!
早速計算してみたいと思います。

お礼日時:2011/01/27 22:28

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