定積分疑問

Question

定積分   疑問

定積分の値が負の値になることはありますか？
例題として、y=x^3を0から-1の範囲で積分する。
∫[0→-1](x^3)dx=[1/4x^4][0→-1]=1/4
です。
グラフを書いてみると、x^3は0→-1の範囲でx軸の下にあります。
そして、y軸と囲まれていません。
面積ないはずなのに値があるのはなぜでしょう？
また、これは負の値になるのではと思ったのですがどうなのでしょうか？

また、積分範囲が0→-1と-1→0
では、答えが同じになるのですが、
グラフ上で求めている面積の場所はどこなのでしょうか？

jamf0422 · Accepted Answer

No.1, 3, 7, 8 & 9です。

>∫[-1→0](x^3)dx=-1/4となります。グラフのx軸より下は負の値になると
> 認識しています。

そうです。関数値yは負の値です。

> なので、∫(-1→0)y^(1/3)dy=[(3/4)y^(4/3)](-1→0)=-3/4
> とはならないのですか？-1が積分範囲の下限ですよね？

おっしゃるとおり！私の勘違いです。面積だとおもって計算しているので間違えたのです。失礼しました。

jamf0422 · Answer

No.1, 3, 7 & 8です。

> 積分値として、y=-1とx=0とy=x^3で囲まれた部分
> はどの様に計算すればよいでしょうか？

囲まれた部分の面積を出す作業は”積分値として、”というものではなく、No.3, 7, 8上のお答えに似た様なことを繰り返し書いた通りの計算で面積を出すという作業です。
面積を出すという積分の形式がほしいのならμ(A)=∬(χ_A)dμ=∬1dμとするジョルダン面積なのでしょうが、これの勉強はまだ先の話とおもいます。

>因みに、∫(-1→0)y^(1/3)dy=[(3/4)y^(4/3)](-1→0)=3/4
>についてですが、(3/4)(-1)^(4/3)=3/4となるのでしょうか？

強いていえばこれが積分値として面積を出している形です。
御質問の計算で問題はy^(4/3)のところですが、これに-1を代入した計算ですね。まず-1を4乗すれば1になり、これの3乗根をとれば1になります。あるいは先に-1の3乗根をとれば-1で、これを4乗すれば1になります。だから3/4をかければ3/4です。
なお、1や-1の3乗根は虚数を含む根もありますが、これは無視しています。

jamf0422 · Answer

No.1, 3,& 7です。
>>y=x^3とy=-1の差をとって積分をx=-1からx=0まで>やればよいのです。

>差をとるとはなんなのでしょうか？
>y=x^3をy軸に+1ずらした関数は理解できますが、
>差をとるという操作がわかりません。

y=x^3とy=-1の差ですからy=x^3-(-1)=x^3+1ということになります。二つのグラフのｙ座標の差をとっているのです。これを積分すれば面積になります。

> また、面積ではなく単純に、y=-1とx=0とy=x^3で囲まれた部分の積分値はどの様に
> 計算すればよいでしょうか？

積分は初等的な意味では関数f(x)にΔxをかけて足し合わせるもので、その和についてその幅を限りなく細かく取ったときの極限が積分になります。グラフの面積を出すなら、その積分操作を応用して出すというだけの話です。
y=-1（x軸に平行なy=-1を通る線）、x=0（y軸）、y=x^3に囲まれた面積というのなら、y=x^3とy=-1の差をとってx=-1から0まで積分するのがもっとも普通のやり方です。あるいはグラフの縦横を変えればx=y(1/3)というグラフと見られますから、これをy=-1からy=0まで積分しても同じ面積は得られます。
∫(-1→0)y^(1/3)dy=[(3/4)y^(4/3)](-1→0)=3/4
ということになります。

jamf0422 · Answer

No.1 & 3です。
>>被積分関数を二つの関数、y=x^3とy=-1の差>y=x^3-(-1)=x^3+1とします。

>すいません。なぜ、2つの関数の差を取るのでしょう。
>y=x^3とy=-1とx=0で囲まれた部分はどの様にして求めれば良いでしょうか？
>-3/4となると思うのですが。

形式的な積分の問題でなく、”面積を出せ”でしたら臨機応変にやればよいのです。添付図の(0,0), (0, -1), (-1,-1)に囲まれた部分ですからy=x^3とy=-1の差をとって積分をx=-1からx=0までやればよいのです。y=x^3+1でx=-1から0まででしたらyの値は必ず正になり、この関数の積分は正になります。あるいは考え方によってはy=x^3+1という関数はy=x^3を上に1だけずらしたものですから、赤線のy=-1をx軸のように看做して普通にx=-1から0まで積分したことになり、普通に正の値を得ます。また、これが初めに考えている面積の計算と同じであることは明らかです。

alice_44 · Answer

y = f(x) と y軸 と x=a と x=b ただし a≦b
で囲まれた領域の面積が ∫[a→b] |f(x)| dx です。
y = f(x) と y軸
で囲まれた領域の面積が ∫[a→b] f(x) dx なのではありません。

＞ 定積分の値が負の値になることはありますか？

あります。
定積分を使って面積を表すことはできますが、
定積分＝面積 なのではありません。
上記の式に 絶対値 が使われていることを理解しましょう。

＞ y軸と囲まれていません。
＞ 面積ないはずなのに値があるのはなぜでしょう？

上記で領域の境界に「x=a と x=b」が含まれている
ことを見れば、理由が解りますね。

＞ また、積分範囲が 0→-1 と -1→0 では、
＞ 答えが同じになるのですが、

なりません。
∫[0→-1] x^3 dx = 1/4 ≠ -1/4 = ∫[-1→0] x^3 dx です。
一般に、∫[a→b] f(x) dx = - ∫[b→a] f(x) dx となります。
教科書の最初のほうに書いてあったでしょう？

＞ 積分範囲の下端はグラフ上の左側としなければ
＞ ならない取り決めがあるのですか？

積分に関しては、そのような取り決めはありませんが、
上記の面積公式は、そのような前提(a≦b)にしてあります。
そこを変えると、公式も変わります。

＞ f(x) を奇関数とすると ∫[-a→a] f(x) dx = 0 となるのは、
＞ プラス面積とマイナス面積で打ち消し合うからだと認識しています。

プラスの積分とマイナスの積分で打ち消し合うと認識したほうがよい。
ともかく、まず、積分＝面積 ではないのだということを認識して、
その上で、教科書を一番最初からひととおり読みなおしてみる
ことが必要だと思います。

info22_ · Answer

#２です。

A#2の補足について

>因みに、面積は正の値という事ですが、
>∫[-1→0](x^3)dx=-1/4は面積では無いのでしょうか？
積分値であって面積ではありません。絶対値を取れば面積になりますが…。

積分値には正の値も負の値もゼロ値も存在しますが、面積には負の値は存在しません。
負の面積は見えますか？見えるのは大きさ（広さ）のある曲線（直線を含む）等で囲まれた面積あるいは面積ゼロ（点や線）だけです。

>f(x)を奇関数とすると∫[-a→a]f(x)dx=0となるのは、プラス面積とマイナス面積で打ち消し合うからだと認識しています。
積分値が±打ち消しあうのであって面積そのものは正です。

積分区間[a→b](a<bとする)でf(x)≦g(x)であれば
x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)で囲まれた領域の面積は

S=∫[a→b] {g(x)-f(x)}dx　 (≧0)

で計算できます。

x=aとx=b(a<bとする)とy=f(x)とx軸(y=0)
で囲まれた領域の面積Sであれば

S=∫[a→b] |f(x)|dx　(≧0)

で計算できます。

f(x)≦0であれば
f(x)≦0=g(x)と考えて

S=∫[a→b] {g(x)-f(x)}dx
=∫[a→b] {0-f(x)}dx
=∫[a→b] {-f(x)}dx
=-∫[a→b] f(x)dx (≧0)
と正値になります。

>f(x)を奇関数とすると∫[-a→a]f(x)dx=0となるのは、プラス面積とマイナス面積で打ち消し合うからだと認識しています。

この場合の面積Sは
S=∫[-a→a] |f(x)| dx= 2∫[0→a] |f(x)| dx
であって、
∫[-a→a]f(x)dx=0　は単なる奇関数の積分と積分値であって
面積とは結び付けない方が良いでしょう。
（もっとも１部の人はあなたのように面積の概念を負の領域まで拡張して負の面積を考える人が居ないわけではありませんが。実数に対して虚数を考えるようなものです。虚数が現実には存在しない思考上の概念です。負の面積を考えたとしても実際には存在しない思考上の概念に過ぎません。）

「-１００平方ｍの土地を売った」＝「１００平方ｍの土地を買った」
と考えるのは自然ですか？何か不自然に感じませんか？

naniwacchi · Answer

こんばんわ。

どうも積分＝面積という正の量のイメージにこだわり過ぎてるというか、
そのイメージだけに固執しすぎてるように思います。

微分というのは「ある瞬間やある場所における傾きや変化量」を表していますが、
積分というには「微小なものを足し合わせた・積み上げた量」というイメージになります。

ですから、積み上げる量が負の値ばかりであれば、積分の結果も負の値になります。
また、正の値を積み上げて、途中から負の値を積み上げていくと、ちょうどゼロになることもあります。

求めている量のイメージは面積ですが、
「あくまでも値を積み上げるという計算をしているだけ」ということを忘れないでください。

jamf0422 · Answer

> ところで、なぜ-1→0で答えが負に成るのでしょうか？積分範囲の下端はグラフ上の左
> 側としなければ、ならない取り決めがあるのですか？

負になるのは計算の構造をもとに遡ってみれば明らかです。積分範囲を短冊型に切って、短冊の幅にその位置のf(x)の値をかけて足して行きます。それの短冊幅をゼロにして、足しあわす短冊の数を∞にするのが積分です。f(x)が負の値のものをxが増大する方向（短冊幅がプラスの数になる）に積分していけばマイナスになります。積分は通常はxが増大する方向に行いますが、そうしなければならないわけではないので、どうしたか判るようにすればよいと思います。

> 積分範囲を逆にすると正負が逆転することは理解しているのですが、0→-1と-1→0で
> は、どちらもグラフ上のx軸より下の部分を求めているので、不思議に思いました。

上にのべたような事情から0→-1では短冊幅がマイナスの数になるのでf(x)の値のマイナスと打ち消しあって積分がプラスになります。

> また、x=0とy=-1で囲まれた部分の面積を求める場合はどの様に式を立てれば良いの
> でしょうか？

x=0とy=-1では直交する二本の線でどうしてよいのかわかりません。たとえばy=x^3とx=0とy=-1で囲まれた面積というのでしたら、y=x^3のy=-1に対応するxの値がx=-1であることを知って、積分範囲をx=-1からx=0とします。それから被積分関数を二つの関数、y=x^3とy=-1の差y=x^3-(-1)=x^3+1とします。
S=∫(-1→0)(x^3+1)dx=[(1/4)x^4+x](-1→0)=-1/4+1=3/4
となりますが...

info22_ · Answer

>面積ないはずなのに値があるのはなぜでしょう？
面積はありますよ。
「x=-1」と「x軸(y=f1(x)=0)」と「y=f2(x)=x^3」で囲まれた領域の面積Sが有ります。
以下の積分の式の上2行の積分が面積を表す積分です。
3行目は積分の式の変形に過ぎません。積分の上限と下限を入れ替えると積分の符号が変わるので、被積分関数の符号を反転させて式として等しく変形しただけです。以降は機械的に積分を実行しているだけです。等号関係が保たれるように積分を実行しているので結果のS=1/4は「
x=-1とy=f1(x)=0とy=f2(x)=x^3で囲まれた領域の面積」…（◆）
になっています。
（面積はいつもy軸が面積の境界線になるとは限りませんよ。）

S=∫[-1→0] |x^3|dx …(☆)
 =∫[-1→0] |f1(x)-f(2)|dx=∫[-1→0](0-x^3)dx=∫[-1→0](-x^3)dx…(★)
 =∫[0→-1] x^3dx
 =[(1/4)x^4] [x:0→-1]
 =(1/4)(-1)^4 -(1/4)(0)^4 = 1/4
 
>面積ないはずなのに値があるのはなぜでしょう？
積分の面積の領域と積分の式の関係を正しく認識できていないのでは？

>これは負の値になるのではと思ったのですがどうなのでしょうか？
xが増加する方向に積分すれば負になります。

∫[-1→0](x^3)dx=[1/4x^4][-1→0]=(1/4)(0)^4 - (1/4)(-1)^4 = -1/4

この積分の下限と上限を入れ替えれば、積分の性質から符号が反転するのは当たり前です。

>また、積分範囲が0→-1と-1→0
>では、答えが同じになるのですが、

同じになりませんよ。
∫[0→-1](x^3)dx=1/4
∫[-1→0](x^3)dx=-1/4

>グラフ上で求めている面積の場所はどこなのでしょうか？
(☆)や(★)の表す積分の面積Sは上の(◆)の領域の面積になっています。

面積は正の値です。積分は正にも負にもなります。
面積を求めるには、積分範囲をxの増加する方向にとります（積分の下限≦積分の上限）。
また積分が面積（正）を表すためには領域の上側の曲線（今の場合y=0）からした側の曲線(今の場合y=x^3)の式を引いた関数「f1(x)-f2(x)=0-x^3=-x^3」を積分します。そうすると積分が面積を表します。

お分かりですか？

jamf0422 · Answer

普通に積分するなら
∫(-1→0)x^3dx=[(1/4)x^4](-1→0)=-1/4
でマイナスで出てきます。これは別に構いません。これを質問者さんのように逆向きに積分すればプラスで1/4と出てきます。すなわち
∫(0→-1)x^3dx=[(1/4)x^4](0→-1)=1/4
です。
積分した面積なるものはy=x^3とx=-1とx=0とに囲まれた部分です。yの値が負の部分で普通に積分すればマイナスになります。

定積分 疑問

No.1, 3, 7, 8 & 9です。

No.1, 3, 7 & 8です。

この回答への補足

No.1, 3,& 7です。

この回答への補足

No.1 & 3です。

この回答への補足

y = f(x) と y軸 と x=a と x=b ただし a≦b

#２です。

この回答への補足

こんばんわ。

> ところで、なぜ-1→0で答えが負に成るのでしょうか？積分範囲の下端はグラフ上の左

この回答への補足

>面積ないはずなのに値があるのはなぜでしょう？

この回答への補足

普通に積分するなら

この回答への補足

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