２つの素数の差

２つの素数の差で、全ての偶数を表すことは、できるのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/02/14 20:09

全ての偶数の集合を E とし，全ての 4 の倍数の集合を F とすると，F ⊂ E ですから， F は E の特殊な場合となり，数学としての一般化へ向かう方向ではありませんので，私個人としては魅力を感じません．

仮に，この先，全ての８の倍数，全ての１６の倍数，・・・　とやり，全ての２^n の倍数で成り立つと言うことにでもなれば，面白いですが，・・・．ただし，これが定理になればの話です．予想のままでは，他の定理の証明などに使えませんので，魅力なしです．

No.4 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/02/14 15:23

＃１です．

考えて見ると，

＞２つの素数の差で、全ての偶数を表すことは、できるのでしょうか？

という問いかけだから，偶数０でも成り立ちますね！　「２つの素数の差」なのだから，

０＝２－２，　　０＝３－３，　　０＝５－５，　　０＝７－７，
０＝１１－１１，　　０＝１３－１３，　・・・・・

でいいわけです．よって，

「２つの素数の差で、全ての偶数を表すことができる．」

が成り立つと考えられます．

No.3 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/02/14 15:07

＃１です．

＃２さんの言う通りですね．０も偶数でした，うっかり忘れてました．

質問者さんの命題を　「０を除く全ての偶数・・・」　とすればいいわけですよ・・・．

No.2 回答者： TT414 回答日時： 2011/02/14 14:46

不可能です。

0を表すためには1つの素数しか必要ありません。
よって、不可能です。

No.1 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/02/14 14:44

＞２つの素数の差で、全ての偶数を表すことは、できるのでしょうか？

出来ると思います．

２つの素数をそれぞれ，ｐとｑとし，偶数を２ｎ，(ｎ＝1, 2, 3, ・・・)としましょう．すると，

２ｎ＝ｑ－ｐ，　ｑ＞ｐ　と書けます．

ｎ＝１のときは，２＝５－３，　　２＝７－５，　　２＝１３－１１，・・・
の様に「双子素数」を使えばいいわけです．

ｎ＝２のときは，４＝７－３，　　４＝１１－７，　　４＝１７－１３，・・・
のように，４＋素数ｐ＝素数ｑ　となる素数ｐを探してゆけばいいわけです．

ｎ＝３のときは，６＝１１－５，　　６＝１３－７，　　６＝１７－１１，・・・
のように，６＋素数ｐ＝素数ｑ　となる素数ｐを探してゆけばいいわけです．

一般に，２ｎ＋ｐ＝ｑ　を満たすように，ｎ＝1, 2, 3, ・・・のそれぞれについて，ｐ＝２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，・・・を２ｎ＋ｐのｐに入れて，２ｎ＋ｐが素数になるｐの値を決めて行けば，恐らく，「２つの素数の差で，全ての偶数を表すことが出来る」という予想が成り立ちそうです．これは，ゴールドバッハの予想（Goldbach's conjecture）と「同値」な命題かも知れません．恐らく，その証明は比較的，簡単なような気がします．しかし，今は証明を考えていません．

あるいは，過去に誰かが考えたことのある問題かも知れません．Wikipedia を調べてみるのも一つの手です．

この回答へのお礼

ありがとうございます。実は、指摘されたようにこれはゴールドバッハの予想と同値な命題のはずです。これは、私自身で同値であることを証明したのですが、今日、更に簡略化して、全ての偶数の部分を、全ての4の倍数とできることが分かりました。このことに関して、誰か証明の参考になるようなことを教えていただけないでしょうか。

お礼日時：2011/02/14 18:04