長野県の高校入試問題です

「　１辺の長さが５cmのひし形ＡＢＣＤがあり、対角線ＢＤ＝８cmである。辺ＡＢを１辺とする正三角形ＥＢＡをつくる。さらに、点Ｐを線分ＢＤ上にとって、ＰＡを１辺とする正三角形ＱＰＡをつくり、点ＥとＱ、点ＰとＣを直線で結ぶ。ただし、点Ｐは、点Ｂ、Ｄとは異なる位置にあり、点Ｑは直線ＰＡについて点Ｅと同じ側にあるものとする。点Ｐを、ＥＱ+ＱＰ+ＰＣの長さが最小になるようにとるとき、ＥＱ+ＱＰ+ＰＣの長さを求めよ。　」
答えは　　４+３√３　　とわかっていますが、なぜそうなるのかが解りません。
下手な図で済みませんが、点Ｐは線分ＢＤ上にあります。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2011/03/29 02:13

点Qは、点Pを「点Aを中心に60°右回転」した位置にあります。

つまり、点Pが直線BD上を移動したときの点Qの軌跡は、直線BDを「点Aを中心に60°右回転」した直線です。
また、直線BD上の点Dの右側に、AF=6となる点Fをとると、AC=AF=CF=6より△AFCは正三角形です。
P=BとすればQ=E、P=FとすればQ=Cとなるので、点Qの軌跡は、直線EC上にあることが分かります。
点Pを直線BDと直線ECの交点にすると、点E,Q,P,Cが一直線上になり、そのときEQ+QP+PCが最小になります。

BDの中点をGとすれば、
EQ+QP+PC=EC=BF=BG+GF=4+3√3

この回答へのお礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。

お礼日時：2011/03/29 11:18

No.2 回答者： kenjoko 回答日時： 2011/03/28 22:02

No.１さん、教えて下さい。

面白そうなので私も挑戦してみました。


＞EQ+QP+PCが最小になるのはEQCが一直線になる時です
　ECの長さを求めればいいわけです

私は点E、Q、P、Cが同じ直線上にあるとき・・(1)と考えましたが、点Pはこの直線上に
なくともよいということでしょうか。

(1)のとき、

線分ECとBDの交点をPとして、AP=AQとなる点をEC上にとりましたが、

⊿QPAが正三角形であることを示せず、ここでダウンしました。

これがクリアできれば、後は何とかなるのですが。


＞正三角形QPAの・・・

このとき、点P,Qをどのようにとったか教えてください。


やはり、点Pの位置は関係ないのでしょうか。


ごめんなさい、暇なときにでも。

この回答へのお礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。

お礼日時：2011/03/29 11:17