整数問題

xは整数で、pは素数のとき、x^2=p^5+p^2+1を満たす
xとpは存在しないことをしめせ。

　a^2<p^5+p^2+1<(a+1)^2 となるaが存在することを示せばいいと
考えましたが、このあとがわかりません。素数の条件がどこで利くのかも
想像が付きません。よろしくアドバイスお願いします。

No.9 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/30 16:10

今さらですが、#4のようにxをpで割る事から考えてみました。

そんなxとpがあったとする。
xをpで割った商をk、余りをm (0≦m<p)とする。

x^2=k^2p^2+2kpm+m^2=p^2(p^3+1)+1。

よってm>0、また、2kpm+m^2がp^2で割り切れない。
m^2はもちろんp^2で割り切れない。
よって、
(1) m=1、k^2p^2+2kp=p^2(p^3+1)
(2) 2kpm+m^2=1
のどちらか。

(2)が成り立つとすると、
m(2kp+m)=1
だからm=1かつ2kp=0。
よってk=0、x=1、これは矛盾。

よって(1)が成り立つ。

(1)より
(3) k(kp+2)=p(p^3+1)。

右辺がkで割り切れることを考えると、pは素数なので
(4) p=k
(5) p^3+1=tk (tは整数)
のどちらか。

(4)が成り立つとすると(3)の左辺が奇数、右辺が偶数で矛盾（p>2は既に分かってると思う）。
(5)が成り立つとすると(3)より
2=p(t-k)。
これはp>2と矛盾。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
いくつかわからないところがあり、補足していただければ幸いです
(1) m=1、k^2p^2+2kp=p^2(p^3+1)
(2) 2kpm+m^2=1
のどちらか。で、(1)がよくわからなかった
(4) p=k
(5) p^3+1=tk (tは整数)
のどちらか。で、(4)(5)以外にもp+1=tkとなる場合があるのでないかと思いました。
まだ、あるとおもいます

お礼日時：2011/03/30 16:34

No.8 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2011/03/30 09:20

＞＞x∈(p^2√p, p^2√p+1)、の正体が何か

記号の意味でしょうか？であれば単に右の区間にxが入ってるということです。すなわち

p^2√p < x < p^2√p + 1

のことです。これは両辺２乗すればすぐ分かると思います。
また次の「x+1あるいはx-1がp^2で割り切れる」部分ですが省略したので説明しておきます。
与えられた方程式から

p^2(p^3+1) = p^5+p^2 = x^2 -1 = (x+1)(x-1)

ですがpが素数であることからx+1またはx-1がpで割り切れなければなりません。例えばx-1が割り切れるとしましょう。そのときx=mp+1と書けますからこれを元の式に代入すれば

p(p^3+1) = m(mp+2)

です。ここで右辺の括弧の中はp≧3である限りpで割り切れません。p=2のときはすぐにxが存在しないことはチェックできるのでp≧3としてよいです。すなわちpはmを割り切ります。これは結局x-1がp^2で割り切れることを示しています。x+1のときも同様です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
与式を満たすxは、p^2√p < x < p^2√p + 1の範囲にあるということ・・・
理解して読みこなすのが大変ですが、がんばりたいとおもいます

お礼日時：2011/03/30 10:57

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/03/29 23:18

「余りを+1にしては」ってのは, #4 の「x を p で割った余り」でしょうか＞#6. もしそうなら, あの筋ではそれでも問題ありません. どっちにしても穴があることは同じなので. ええ, 「2k を p で割った余りが 1」というパターンを忘れてます.

そ～いう場合を考えると, 結局
x = (k+1/2)p^3 ± (p^2/2+1)
になって (ここの ± は必要だと思う), ごにょごにょすると p に上限がつくのであとは腕力でなんとかなるなぁとは思います.

... ん～, #5 でいいような気がする....

No.6 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/29 19:01

#4で余りを+1にしてはダメなのですか?

No.5 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2011/03/29 18:26

あまり良い回答とは言えませんがとりあえず証明してみます。

まず x∈(p^2√p, p^2√p+1)、よってx=[p^2√p]+1です。ここで[.]はガウス記号です。
一方、与えられた式とpが素数であることからx+1あるいはx-1がp^2で割り切れなければならないことも分かります。以下M=[p^2√p]とおきます。

(1)p^2|(x-1)の場合

方程式
M^2 + 2M = p^5 + p^2
からスタートします。x=M+1ですからp^2|Mです。そこでM=kp^2とおいて上の式に代入すれば
k^2p^4 + 2kp^2 = p^5 + p^2
すなわち
k^2p^2 + 2k = p^3 + 1
またMの定義より明らかに
1≦k≦p/2 -1
です。ここでmod pで考えれば矛盾が生じます。

(2)p^2|(x+1)の場合

(1)の場合と同様に方程式
M^2 + 2M = p^5 + p^2
からスタートです。x=M+1なのでp^2|(M+2)です。そこで次のように式変形をします。
p^5 + p^2 = M^2 + 2M = (M+2)^2 - 2(M+2)
後は(1)の場合と同様にM+2=kp^2とおいて両辺のpで割った余りを考えれば矛盾が導かれます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
x∈(p^2√p, p^2√p+1)、の正体が何かから
よく理解できず、思考が停止してしまいました

お礼日時：2011/03/30 08:43

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/03/29 18:08

ちと考えてみました.

まず x^2 = p^5+p^2+1 ということから, x を p で割った余りは ±1 です. つまり x = kp ± 1 と書けます. んで 2乗すると
x^2 = k^2p^2 ± 2kp + 1 = p^5 + p^2 + 1 から p(k^2 - p^3 - 1) = ±2k
で左辺は p の倍数だから右辺も p の倍数. よって p≠2 ならさらに k が p の倍数となります. したがって実は x = kp^2 ± 1 と書けて再度 2乗すると
x^2 = k^2p^4 ± 2kp^2 + 1 = p^5 + p^2 + 1
です.
ここで p^3 で割った余りを考えると矛盾が生じる...

でいいのかなぁ?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
k^2p^4 ± 2kp^2 = p^5 + p^2
をp^3で割るわってみましたが、矛盾を示すには・・・

お礼日時：2011/03/30 08:38

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/03/29 17:18

こんにちわ。

なかなかもどかしくて、最後までたどりついていないのですが一言だけ。

＞何故、問題でpは奇数としないか、それより条件の厳しい素数にするのか

素数というと、一つだけ偶数がありますよね。
#1さんが示されているような攻め方でいくのであれば、
先にその偶数の場合だけ、存在しないことを示しておいた方がいいと思います。
（示し方は単に計算するだけです）

また、考えてみます。。。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
他の人の回答をみてもどうも私の頭では理解できていません
何か、別解のようなもの（別の視点からのトライ）があったら
よろしくおねがいします

お礼日時：2011/03/30 14:11

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2011/03/29 17:03

ANo.1ですが、計算ミスしてました。

p^3 + 1が4の倍数になる場合がありました。
なのでANo.1の回答は無視してください。

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2011/03/29 16:44

x^2 = p^5 + p^2 + 1より、x^2は奇数(pが偶数でも奇数でも)。

よってxも奇数。
xが奇数なのでx = 2n + 1とおいてあげて
x^2 = p^5 + p^2 + 1に代入すると

4n^2 + 4n + 1 = p^5 + p^2 + 1
4n^2 + 4n = p^5 + p^2
∴4n(n + 1) = (p^2)(p^3 + 1)

4n(n + 1) = (p^2)(p^3 + 1)は左辺が4の倍数です。
なので右辺も4の倍数になるはずです。
pは奇数なので(簡単に示せるので省略します)、
右辺を4の倍数にするにはp^3 + 1が4の倍数になる必要があります。

つまりp^3 + 1が4の倍数にならないなら、
x^2 = p^5+p^2+1を満たすpは存在しないことになります。
なので、p^3 + 1が4の倍数にならない事を証明してみましょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
pは素数だから奇数で、p=2a+1とおける。a整数
よって、p^3+1=4*整数+2より、４の倍数にならない。
これでいいでしょうか。pが素数の条件は、奇数であることを
示す条件だけになっているということですか
何故、問題でpは奇数としないか、それより条件の厳しい素数にするのか
と思いました

お礼日時：2011/03/29 17:07