数学II 円と直線の問題です。
途中まで挑戦してみましたがわかりませんでした。
ご解説をお願いいたします。
具体的な式を書いてくださるととても助かります。
問題
点P(A , B)を中心とする、半径Rの円(X-A)^2+(Y-B)^2=R^2がある。
点Pは、直線Y=-X-3 上にある。
この円が、放物線Y=X^2 と点Q(-2,4)で接しているとする。
このとき、点Qにおける共通接線の方程式を求めよ。
また、A,Bの値を求めよ。
やってみたこと
・PQが円の半径なので、
PQと共通接線は直交すると思った。
が、PQの傾きがわからず、計算にどう生かして良いかわからなかった。
・点P(A,B)は直線上の点なので、直線の式に座標を代入し点P(A、-A-3)としてみた。
・点P(A,B)はY=X^2上の点なので、放物線の式に座標を代入し点P(A、A^2)としてみた。
全く的をいていないようで、解答にたどりつけません・・・。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
共通接線を y = ax + b・・・・・・(1) とおくと(-2,4)を通るから b = 2a +4 より(1)式は
y = ax + (2a+4) ・・・・・(2) とおける
ここで (2)は y = x^2 と接するので x^2 -ax-(2a+4) = 0 の判別式=0となる。から
a^2 + 4(2a+4) = 0 より a = -4・・・・・・・(3)
(2)から (1)は y = -4x -4 ・・・・・・・・・・・(4)
一方 円の中心(A,B)は y = -x -3 上にあるから B = -A-3より
中心は(A, -A-3) と書ける
円の中心 と Q点の傾きは -4 x m' = -1 (公式)から m' = 1/4
よって 円の中心とQ点を結ぶ線は y = 1x/4 + c ・・・(5) とおける
(5) は (-2,4) を通るから代入すると c = 9/2 となり (5)は
y = 1x/4 + 9/2 ・・・・・・・・・・・・(6)
これが(A,B) つまり (A,-A-3) を通るから代入すると
A = -6, また B = -A-3より B =3 となりますが、
合っているでしょうか。微分を使わずに処理したけど
そろそろ、眠くなってきました。失礼します。
No.5
- 回答日時:
円:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の点(α、β)における接線の方程式は、(α-a)*(x-a)+(β-b)*(y-b)=r^2 で求めらる事は、教科書で学んているはずだ。
それを使ってみよう。
点(-1、4)を通る放物線の接線はmを定数として、y=m(x+2)+4 だから、放物線y=x^2と連立してyを消去するとxの2次方程式になる。
これが重解を持つから 判別式=0より m=-4 から、接線の方程式は y+4x+4=0 ‥‥(1)
また、円上の点(α、β) 但し、α+β=3 ‥‥(2) における接線は、(-2-α)*(x-α)+(4-β)*(y-β)=r^2 だから、整理すると、(4-β)y-(α+2)x+(α^2+2α+β^2-4β-r^2)=0 ‥‥(3)
(1)と(3)が同一直線から、おのおのの係数は比例する。
よって、(4-β)/1=-(α+2)/(4)=(α^2+2α+β^2-4β-r^2)/(4)になる。
これを解くと(2)を使い(α、β、r^2)=(-6、3、17)になる。
以上から、共通接線は y+4x+4=0 で 円は (x+6)^2+(y-3)^2=17 になる。
No.3
- 回答日時:
NO.2の続きです。
(-2,4)で放物線に接している直線の傾きをmとすると
この直線は y=mx+2m+4
これが y=x^2 に接しているから、連立させた時の解は1つ。
x^2=mx+2m+4 が重解を持つので
D=0より m=-4
よって 接線は y=-4xー4
(-2,4)を通り接線に垂直な直線は
y=1/4x+9/2
この直線と y=-x-3 との交点が 円の中心。
中心の座標は (-6、3) 半径は√17
となりますが計算違いがあればお許しください。
有難うございます。
微分は全く分からないので、テキストを先取りし「接戦の方程式」の部分だけ
チラ見してみました。
が、やはりわからず(当然ですね・・・。)、
早くきちんと学んで身につけたいなと思いました!
有難うございます。
微分学習後、またこちらの回答にお世話になり再度復習したいと思います。
No.1
- 回答日時:
B = -A-3 としたのは良いことだ。
しかし、これだけで B は消去されてしまうから、
B = A^2 としてみたことには、あまり意味がない。
> この円が、放物線Y=X^2 と点Q(-2,4)で接している
という条件の使い方は、
円の X = -2 における Y と dY/dX の値がわかった
…とするのが良い。
X = -2 のとき Y = 4。
Y = X^2 の傾きは、dY/dX = 2X だから、
X = -2 のとき dY/dX = -4。
これを、(X-A)^2 + (Y+A+3)^2 = R^2 へ代入すればよい。
そのまま X = -2, Y = -4 を代入して一式。
両辺を X で微分してから X = -2, Y = -4, dY/dX = -4 を代入して
もう一式。
その二式を A と R の連立方程式として解けば、
円の方程式が求まる。
ありがとうございます。
やっぱり微分(?)がベストなのでしょうが、微分積分は使わずお願いします。 dの意味もわからないのですが、微分につかう何かでしょうか。
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