大学の数学についてです

A⊆B⇔「任意のDに対して、A∪(B∩D)=B∩(A∪D)」を示す問題です。
わからないので解説お願いします(T-T)

No.1 回答者： sayumi0570 回答日時： 2011/04/25 21:02

ＡＵ（Ｂ∩Ｄ）＝（ＡＵＢ）∩（ＡＵＤ）

Ａ⊂Ｂ　　なのでＡＵＢ＝Ｂ

（ＡＵＢ）∩（ＡＵＤ）＝Ｂ∩（ＡＵＤ）

No.2 回答者： Caper 回答日時： 2011/04/26 05:43

　この問題には、← の証明も必要になりますよね。

　集合 A の任意の要素を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ A であるとします。
　x ∈ A であるならば x ∈ A∪(B∩D) でもあります。
　仮定より、A∪(B∩D) = B∩(A∪D) でありますから、x ∈ B∩(A∪D) でもあります。
　x ∈ B∩(A∪D) であるならば、x ∈ B でもあります。
　ゆえに、集合 A の任意の要素である x は 集合 B の要素でもあると言えます。

　まちがっていましたら、ごめんなさい。

No.3 回答者： Caper 回答日時： 2011/04/28 08:15

● くわしい証明をお求めでしょうか … 。

　 以下において、くわしい証明を私は行なったつもりです。証明の正しさについては自信がありません。まちがっていましたら、ひらにひらにごめんなさい。

● (A ⊆ B)→(A∪(B∩D) = B∩(A∪D)) の証明

　 この証明においては、次のふたつを示す必要があると、私は思います。

1) (A ⊆ B)→(A∪(B∩D) ⊆ B∩(A∪D)) の証明
2) (A ⊆ B)→(B∩(A∪D) ⊆ A∪(B∩D)) の証明

　 ですが、上記の 2) については、A ⊆ B という仮定が無くても、B∩(A∪D) ⊆ A∪(B∩D) という包含関係は示されます。

★ 1) の証明

　 まず、仮定における A ⊆ B について説明します。A ⊆ B であるとは、すなわち A が B の部分集合であるとは、集合 A の任意の要素を x と表わすときに、すなわち x ∈ A であるときに、x ∈ B でもあるということを意味します。

　 集合 A∪(B∩D) の任意の要素を改めて x と表わすことにします。すなわち x ∈ A∪(B∩D) であるとします。x ∈ A∪(B∩D) は「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」という意味をなします。この x ∈ A∪(B∩D) が x ∈ B∩(A∪D) でもあるということが示されれば、1) の証明は完了します。

　「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ A である場合は、仮定より x ∈ B でもあります。一方、「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ B∩D である場合は、すなわち「 x ∈ B かつ x ∈ D 」である場合は x ∈ B でもあります。よって、

　 (* 1) x ∈ A∪(B∩D) であるならば x ∈ B でもあります。

　 また、「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ A である場合は x ∈ A∪D でもあります。一方、「 x ∈ A または x ∈ B∩D 」である内の x ∈ B∩D である場合は x ∈ D でもあり、このことにより x ∈ A∪D でもあります。よって、

　 (* 2) x ∈ A∪(B∩D) であるならば x ∈ A∪D でもあります。

　 上記の (* 1) (* 2) より、「 x ∈ B かつ x ∈ A∪D 」が示されたこととなり、すなわち x ∈ B∩(A∪D) が示されたことになり、1) が証明されます。

★ 2) の証明

　 集合 B∩(A∪D) の任意の要素を改めて x と表わすことにします。すなわち x ∈ B∩(A∪D) であるとします。x ∈ B∩(A∪D) は「 x ∈ B かつ x ∈ A∪D 」という意味をなします。この x ∈ B∩(A∩D) が x ∈ A∪(B∩D) でもあるということが示されれば、2) の証明は完了します。

　 x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ B でもあります。x ∈ B であるならば x ∈ A∪B でもあります。よって、

　 (* 3) x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ A∪B でもあります。

　 一方、

　 (* 4) x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ A∪D でもあります。

　 上記の (* 3) (* 4) より、「 x ∈ A∪B かつ x ∈ A∪D 」が示されたことになり、すなわち x ∈ (A∪B)∩(A∪D) = A∪(B∩D) ( 等号は分配律によるもの ) が示されたことになり、2) が証明されます。

● (A∪(B∩D) = B∩(A∪D))→(A ⊆ B) の証明

　 集合 A の要素を改めて x と表わすことにします。すなわち x ∈ A であるとします。この x ∈ A が x ∈ B でもあるということが示されれば、この証明は完了します。

　 x ∈ A であるならば x ∈ A∪(B∩D) でもあります。仮定より A∪(B∩D) = B∩(A∪D) でありますから、x ∈ B∩(A∪D) でもあります。x ∈ B∩(A∪D) であるならば x ∈ B でもあります。