２枚のカードの積の期待値

1～１０の数字が書かれた１０枚のカードがあり、その中から２枚とりだしたときのカードに書かれた数字の積の期待値を求めよという問題があります。
　
ごり押しで解けそうですが、スマートな解き方があれば教えてほしいです。
　
お願いします。

No.3 回答者： boiseweb 回答日時： 2011/05/14 20:26

私なら次のように求めます．

（順序を考慮して）とりだした2枚のカード（90通り）の数の積の総和を90で割ればよい．

(1+...+10)*(1+...+10) を展開すると100個の項が出てくる．そこから「対角線」（同じ数の積）の10個を除けば，注目すべき90個の項になる．
100個の項の和は (1+...+10)*(1+...+10) = 55*55 = 3025
対角線の10個の項の和は 1^2+...+10^2 = (1/6)*10*11*21 = 385
注目すべき90個の項の和は 3025 - 385 = 2640
求める期待値は 2640 / 90 = 88/3

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/05/14 20:10

こんばんわ。

数字の組み合わせ、すなわち確率変数の一覧は、
「リーグ戦」のように書いてみるとわかると思います。

それぞれのマス目の値となる確率は同じになるので、
マス目の値をすべて加えて全組合せの場合の数で割ればいいです。

という式を #1さんが書いてくれています。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/05/14 20:05

Σ[i=1・・・9]Σ[j=i+1・・・10]i*j)/(10C2)

=(1/45)Σ[i=1・・・9]i*(55-i(i+1)/2)
=(1/45)Σ[i=1・・・9](55i-i^3/2-i^2/2)
=(1/45)(55*(9*10/2)-(9*9*10*10/4)/2-(9*10*19/6)/2)
=(1/45)(55*45-2025/2-285/2)
=88/3