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作用積分の変分ΔS=∫_tA^tB dtΣ(Δq ∂L/∂q + Δq' ∂L/∂q')
これを部分積分して、
=[ΣΔq ∂L/∂q']_tA^tB + ∫_tA^tB dtΣΔq (∂L/∂q - d/dt ∂L/∂q')
ここで、tAとtB では、Δq =0 なので、第一項は0になり、
これから、ラグランジュの方程式が出てくるのは、わかります。
そうせずに、全体をΔqで微分(偏微分)すると、
∂S/∂q=∂L/∂q' + ∫_tA^tB dt 0
なので、一般化運動量pを∂L/∂q' と置くと、
p=∂S/∂q となりました。
それで、tAの時点での一般化運動量をpAとし、tBの時点での一般化運動量をpBと
すると、運動量保存則から、
pA=pB となると思うのです。
仮に、外力による運動量の増加Δpがあったとしても
pB=pA+Δp と思います。
しかし、本には、
tAの時点では、-pA tBでは、 pB と書いてあります。
何故、- がつくのかわかりません。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Δqは時間の関数ですので、特にt=tA でのΔqをΔq_A, t=tB でのΔqをΔq_Bと以下で書くことにします。
[ΣΔq ∂L/∂q']_tA^tB = ΣΔq_B ∂L/∂q'|_{t=tB} - ΣΔq_A ∂L/∂q'|_{t=tA} ですから、ラグランジュの運動方程式が成り立っているとき、
∂S/∂q_A = -∂L/∂q'|_{t=tA} = -pA
∂S/∂q_B = ∂L/∂q'|_{t=tB} = pB
となります。
少し説明を加えますと、Sというのを、q_A, q_Bを与えたとき、q_Aを始点としq_Bを終点とするラグランジュの運動方程式を満たす軌道にそってLを積分した値を返すような関数S(q_A, q_B)として定義した場合に、
そのSをq_A, q_B で微分するとそれぞれ -p_A, p_B が出てくるということです。
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