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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
y = -x^2 + 4ax - a
= -(x^2 - 4ax) - a
= -(x^2 - 4ax + 4a^2) + 4a^2 - a
= -(x-2a)^2 + 4a^2 - a
つまり、xの範囲が指定されていなければ、x=2a でyは最大となります。
ですから、
・x=2a が 0≦x≦2 の中に収まっていれば、x=2a のときにy最大。
・x=2a が 0≦x≦2 の中に収まっていなければ、x=0 か x=2 のときにy最大。
となります。
収まっているかどうかは、x を 2a に取り替えて考えればいいので、
・0≦2a≦2 ならば、x=2a のときにy最大。
・0≦2a≦2 でなければ、x=0 か x=2 のときにy最大。
つまり
・0≦2a≦2 ならば、x=2a のときにy最大。
・a<0 または 2<2a ならば、x=0 か x=2 のときにy最大。
しかし、問題文で a>0 と決められているので、
・0<2a≦2 ならば、x=2a のときにy最大。
・2<2a ならば、x=0 か x=2 のときにy最大。
No.2
- 回答日時:
>なぜ、このように分けて考えるのかが分かりません。
この手の質問が後を絶たない。考えにくいようだ。
勉強のため、a>0という条件を外し、最大値だけでなく最小値も考えよう。
最大値をMとし、最小値をNとしよう。
y=f(x)=-x^2+4ax-a=-(x-2a)^2+(4a^2-a)であるから、これは上に凸で 軸がx=2aの2次関数。
xの変域は、0≦x≦2。軸が動けば最大値と最小値が変化する、これくらいはわかるだろう。
その分岐は x=0と2 であることは自明だが、もうひとつ、0と2の中間のx=1も関わってくる事に気がつかなければならない。そこから場合わけが発生する。
(1) 2a≧2の時、M=f(2)、N=f(0)
(2) 2≧2a≧1の時、M=f(2a)、N=f(0)
(3) 1≧2a≧0の時、M=f(2a)、N=f(2)
(4) 2a≦0の時、M=f(0)、N=f(2)
なぜ、こうなるか? 上の4つの場合の2次関数のグラフを書いてみるとわかるだろう。
わからなければ、わかるまで考えると良い。それが数学の上達法だ。
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