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次の問題が解説を読んでもよくわからなかったので、質問させてもらいます。

【1】a>0のとき、関数y=-x^2+4ax-a (0≦x≦2)の最大値を求めよ。


という問題で、解説には

(1)0<2a≦2
(2)2<2a

で場合分け?してあります。なぜ、このように分けて考えるのかが分かりません。
わかりやすく教えてください。お願いします。

A 回答 (2件)

こんにちは。



y = -x^2 + 4ax - a
 = -(x^2 - 4ax) - a
 = -(x^2 - 4ax + 4a^2) + 4a^2 - a
 = -(x-2a)^2 + 4a^2 - a

つまり、xの範囲が指定されていなければ、x=2a でyは最大となります。
ですから、
・x=2a が 0≦x≦2 の中に収まっていれば、x=2a のときにy最大。
・x=2a が 0≦x≦2 の中に収まっていなければ、x=0 か x=2 のときにy最大。
となります。

収まっているかどうかは、x を 2a に取り替えて考えればいいので、
・0≦2a≦2 ならば、x=2a のときにy最大。
・0≦2a≦2 でなければ、x=0 か x=2 のときにy最大。

つまり
・0≦2a≦2 ならば、x=2a のときにy最大。
・a<0 または 2<2a ならば、x=0 か x=2 のときにy最大。

しかし、問題文で a>0 と決められているので、
・0<2a≦2 ならば、x=2a のときにy最大。
・2<2a ならば、x=0 か x=2 のときにy最大。
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2011/06/30 21:02

>なぜ、このように分けて考えるのかが分かりません。



この手の質問が後を絶たない。考えにくいようだ。

勉強のため、a>0という条件を外し、最大値だけでなく最小値も考えよう。
最大値をMとし、最小値をNとしよう。

y=f(x)=-x^2+4ax-a=-(x-2a)^2+(4a^2-a)であるから、これは上に凸で 軸がx=2aの2次関数。
xの変域は、0≦x≦2。軸が動けば最大値と最小値が変化する、これくらいはわかるだろう。
その分岐は x=0と2 であることは自明だが、もうひとつ、0と2の中間のx=1も関わってくる事に気がつかなければならない。そこから場合わけが発生する。
(1) 2a≧2の時、M=f(2)、N=f(0)
(2) 2≧2a≧1の時、M=f(2a)、N=f(0)
(3) 1≧2a≧0の時、M=f(2a)、N=f(2)
(4) 2a≦0の時、M=f(0)、N=f(2)

なぜ、こうなるか? 上の4つの場合の2次関数のグラフを書いてみるとわかるだろう。
わからなければ、わかるまで考えると良い。それが数学の上達法だ。
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この回答へのお礼

グラフを描いてみます。

お礼日時:2011/06/30 21:02

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