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∫(1-{(a+b^2/2c)/(a+x^2/2c)})dxって積分できるんでしょうか?
積分区間は0からbまでです。
a,b,cは定数とします。
よろしくお願いします。

A 回答 (6件)

 ANo.4/5です。



>てっきり積分区間も変わるものかと思いました^^;
>arcだから積分区間はそのままでいいということでしょうか?

 不定積分の結果は、積分変数のxで表していますので、積分区間はそのままです。
 不定積分を行う際に確かに変数変換をしていますが、その後で元の積分変数に戻しているので積分区間は変わりません。

 よろしければ参考にしてください。
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この回答へのお礼

非常に参考になりました。
ありがとうございました!

お礼日時:2011/07/02 02:13

 ANo.4です。


 補足を拝見しました。

>定積分では積分区間は一体どうなるのでしょうか?

 積分区間は質問文に書かれている通り 0からbまで です。

この回答への補足

三角関数に置換して解いたんですよね?
てっきり積分区間も変わるものかと思いました^^;
arcだから積分区間はそのままでいいということでしょうか?

補足日時:2011/07/01 09:49
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 できますよ!


 ANo.2さんの二番煎じで恐縮ですが、被積分関数を変形して、次の不定積分の式を利用してください。

(i) p>0のとき  ∫dx/(x^2+p)dx=(1/√p) arctan(x/√p) +C
(ii) p<0のとき  ∫dx/(x^2+p)dx={1/(2√|p|)} log|(x-√|p|)/(x+√|p|)| +C
(iii)p=0のとき  ∫dx/(x^2+p)dx=-1/x +C
  (ただし、Cは積分定数)

この回答への補足

回答して下さってありがとうございます。
皆さん不定積分で教えてくださっていますが、定積分では積分区間は一体どうなるのでしょうか?

補足日時:2011/07/01 01:22
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被積分関数の分数の分子、分母の境がどこか分かりません。


多重に括弧を使って、回答者に分かりやすい式表現、間違って伝わらない式表現、の書き方にして下さい。

この回答への補足

∫dx - ∫{ (a + (b^2)/2c) / (a + (x^2)/2c) }dx
です。よろしくお願いします。
積分区間等は質問文、補足の通りです。

補足日時:2011/07/01 01:26
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{(a+b^2/2c)/(a+x^2/2c)}の部分の不定積分に限ってお話しますが、


a, b, cの値に依って変わると思います。

aやcが正の数で、(a+b^2/2c)が0でなければ、
arctanの形になるはずです。
(arctanx)' = 1/(1 + x^2)から、
∫1/(1 + x^2)dx = arctanx + C
となります。

aが負の数でcが正の数(あるいはaが正の数でcが負の数)、
(a+b^2/2c)が0で無いなら、
部分分数分解を使って解く∫1/(x^2 - 1)dxと同じ形になります。
なのでこの場合はlogを使った形になると思います。
ちなみに
∫1/(x^2 - 1)dx
= (1/2){∫1/(x - 1)dx - ∫1/(x + 1)dx}
= (1/2)(log(x - 1) - log(x + 1)) + C
ですね。

この回答への補足

回答してくださってありがとうございます。
a,cともに正です。
bが0<b<2cを満たす実数であるとすると、積分区間はどうなるのでしょうか?

補足日時:2011/07/01 01:19
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不定積分できるから, 当然定積分もできる.


きれいな式になるかどうかは知らんが.
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