積分のやり方

∫(1-{(a+b^2/2c)/(a+x^2/2c)})dxって積分できるんでしょうか？
積分区間は0からbまでです。
a,b,cは定数とします。
よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/07/01 11:02

　ANo.4/5です。

＞てっきり積分区間も変わるものかと思いました＾＾；
＞arcだから積分区間はそのままでいいということでしょうか？

　不定積分の結果は、積分変数のxで表していますので、積分区間はそのままです。
　不定積分を行う際に確かに変数変換をしていますが、その後で元の積分変数に戻しているので積分区間は変わりません。

　よろしければ参考にしてください。

この回答へのお礼

非常に参考になりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2011/07/02 02:13

No.5 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/07/01 02:14

　ANo.4です。

　補足を拝見しました。

＞定積分では積分区間は一体どうなるのでしょうか？

　積分区間は質問文に書かれている通り　0からbまで　です。

この回答への補足

三角関数に置換して解いたんですよね？
てっきり積分区間も変わるものかと思いました＾＾；
arcだから積分区間はそのままでいいということでしょうか？

補足日時：2011/07/01 09:49

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2011/07/01 01:14

　できますよ！

　ANo.2さんの二番煎じで恐縮ですが、被積分関数を変形して、次の不定積分の式を利用してください。

(i) p>0のとき　　∫dx/(x^2+p)dx=(1/√p) arctan(x/√p) +C
(ii) p<0のとき　　∫dx/(x^2+p)dx={1/(2√|p|)} log|(x-√|p|)/(x+√|p|)| +C
(iii)p=0のとき　　∫dx/(x^2+p)dx=-1/x +C
　　（ただし、Cは積分定数）

この回答への補足

回答して下さってありがとうございます。
皆さん不定積分で教えてくださっていますが、定積分では積分区間は一体どうなるのでしょうか？

補足日時：2011/07/01 01:22

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/07/01 00:33

被積分関数の分数の分子、分母の境がどこか分かりません。

多重に括弧を使って、回答者に分かりやすい式表現、間違って伝わらない式表現、の書き方にして下さい。

この回答への補足

∫dx - ∫{ (a + (b^2)/2c) / (a + (x^2)/2c) }dx
です。よろしくお願いします。
積分区間等は質問文、補足の通りです。

補足日時：2011/07/01 01:26

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2011/07/01 00:23

{(a+b^2/2c)/(a+x^2/2c)}の部分の不定積分に限ってお話しますが、

a, b, cの値に依って変わると思います。

aやcが正の数で、(a+b^2/2c)が0でなければ、
arctanの形になるはずです。
(arctanx)' = 1/(1 + x^2)から、
∫1/(1 + x^2)dx = arctanx + C
となります。

aが負の数でcが正の数（あるいはaが正の数でcが負の数）、
(a+b^2/2c)が0で無いなら、
部分分数分解を使って解く∫1/(x^2 - 1)dxと同じ形になります。
なのでこの場合はlogを使った形になると思います。
ちなみに
∫1/(x^2 - 1)dx
= (1/2){∫1/(x - 1)dx - ∫1/(x + 1)dx}
= (1/2)(log(x - 1) - log(x + 1)) + C
ですね。

この回答への補足

回答してくださってありがとうございます。
a,cともに正です。
bが0<b<2cを満たす実数であるとすると、積分区間はどうなるのでしょうか？

補足日時：2011/07/01 01:19

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/07/01 00:21

不定積分できるから, 当然定積分もできる.

きれいな式になるかどうかは知らんが.