確率密度関数の求め方を教えてください

確率密度関数の求め方を教えてください。

区間 [a,b] 上の一様分布を U([a,b]) とする。

X,Y：i.i.d.～U([0,1]) のとき、

Z:=max{X,Y} の確率密度関数を求めよ。


という問題があるのですがよくわかりません。
どなたか解法と解答を教えてください。

お願いします。

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2011/07/26 18:50

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1

Z:max(X,Y)の確率変数
Q:X,Yの確率分布関数
q:X,Yの確率密度関数
R:Z=max(X,Y)の確分布度関数
r:Z=max(X,Y)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫dudv:∫du・∫dv=∫[-∞,∞]du・∫[-∞,∞]dv

とすると

q(x)=h(x)-h(x-1)
Q(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
R(z)=∫∫dxdy・q(x)・q(y)・h(z-max(x,y))
r(z)=R'(z)
h(z-max(x,y))=h(z-x)・h(z-y)

であるから

R(z)
=∫∫dxdy・q(x)・q(y)・h(z-max(x,y))
=∫∫dxdy・q(x)・q(y)・h(z-x)・h(z-y)
=(∫dx・q(x)・h(z-x))・(∫dy・q(y)・h(z-y))
=(Q(z))^2

よって

r(z)=R'(z)=2・Q(z)・q(z)=2・z・(h(z)-h(z-1))