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上半球面P={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z≧0}で、E={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z=0}を赤道とする。このときPに関係 x~-x(∀x∈E)で生成される同値関係”~”を考えて得られる商空間P/~が、2次元射影空間P~2と同相になることを示せ。

この問題なんですが、図では確かにどちらも同じ形になるので、同相になるんだろうとは思うんですが、その証明になると手が止まってしまうんです。方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、それをどのようにとればいいのか(全単射で逆像も連続なもの)がまったく思い浮かびません。
これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか?だれか解法のヒントと、後者のコメントをお願いします。よろしくお願いします。

A 回答 (7件)

この議論を平たく言うとこんな感じです。



P^2の定義である、(x,y,z)∈R^3-{0}に対して
(x,y,z)~(x',y',z') ⇔ x'=λx, y'=λy, z'=λz(λ≠0)
という同値関係というのは、R^3内で原点を通る直線を1点に縮めるということ。
縮めた1点をどこに置こうか?そうだ!半径1の球面上(S^2)に置こう。
そうすると縮められた1点はすべてS^2上に来ます。
ただし原点を通る直線は、S^2と2点で交わっている。
その2点は原点に対して対称な点(対心点)だ。
ということは初めから上半球面Pを考えてやればよい。
ただPがZ=0の平面と交わる部分は、対心点同士をくっつけてやる必要がある。
それがP/~。

この議論を精密化すれば、P/~が2次元射影空間P^2と同相だということを証明したことに
なります。

【証明】
f:R^3-{0}→Pを
z≧0の時、f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
z<0の時、f(x,y,z)=(-x/√(x^2+y^2+z^2), -y/√(x^2+y^2+z^2), -z/√(x^2+y^2+z^2))
と定義します。

点A=(x,y,z)、点B=(λx,λy,λz)に対して(λ≠0)、
f(A)=f(B)なので、fと同じ式でf~:P^2→Pが定義できます。

さらに(x,y,z)のP^2での同値類を[x,y,z]と書くとすると、
f~[x,y,0]=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), 0)
f~[-x,-y,0]=(-x/√(x^2+y^2+z^2), -y/√(x^2+y^2+z^2), 0)
で、[x,y,0]と[-x,-y,0]はP^2での同値類の意味で等しく、
また右辺はP/~の同値類の意味で等しいので、f~~:P^2→P/~が定義できます。

(x,y,z)のP/~での同値類を[[x,y,z]]と書くとします。g:P/~→P^2を
g[[x,y,z]]=[x,y,z]
で定義すると、P/~、P^2の定義よりwell-definedです。
f~~,gは共に連続で、
g・f~~[x,y,z]=g[[x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2)]]
=g[[x,y,z]] (x^2+y^2+z^2=1 だから)
=[x,y,z]
f~~・g[[x,y,z]]=f~~[x,y,z]
=[[x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2)]]
=[[λx,λy,λz]] (λ=1/√(x^2+y^2+z^2)とおく)
=[[x,y,z]]
となってg・f~~とf~~・gは共に恒等写像ですから、同相写像。
ゆえにP^2とP/~は同相です。

これでOKと思いますが、いかがでしょう?
------
位相数学をやっていて、最初によくつまってしまうのが商空間(等化空間)。
群論でも商群(剰余群)がつまりやすい。
でも大学数学はこの"商"の考え方がよく出てくるし、また重要でもあります。
この辺はたくさんの問題を解いて、慣れていくしかないと思います。

あとは自分でじっくりと考えてください。
私にはこれ以上、わかりやすく説明ができません。
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> P^2はある半径rの球と考えていいんですよね?それの商空間は、赤道半分に上半球み


> たいなものがくっついたものでよろしいのでしょうか?

いえ、P^2は私が#2で書きました、定義に基づく2次元射影空間のことです。

今思ったんですが、あなたが考えておられるP^2の定義は、私が示したものとは違うんでしょうか?
> 確かにどちらも同じ形になる
とおっしゃられていますが、私のP^2の定義だとそう簡単に同じ形だとは言えないように思いますが...
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この回答へのお礼

ありがとうございます。少し自分でもこんがらがっていました。確かに直感的にはいえそうにないです。
また、自分ではなかなかwell-definedが証明できないです。いったい何を言えば良いのか。最近ではwell-definedがたくさんでてきて、しかし、先生方は明らかみたいな感じで。。。少し拒否反応さえ感じます。どうかよかったらご指導お願いします。

お礼日時:2003/11/10 16:21

#2,#4です。



#4でf:R^3-{0]→S^2からf~:P^2→S^2を導く云々と書きましたが、まずfからf~:R^3-{0}→P/~を導いてからf~~:P^2→P/~を導かないといけませんね。
なぜならA=(x,y,z),B=(-x,-y,-z)に対して、P^2上ではAとBは同値にもかかわらず、f(A)=-f(B)になっているので、f~:P^2→S^2は「うまく定義」できません。

失礼しました。

f~:R^3-{0}→P/~は、(x,y,z)∈R^3-{0}に対して、
z≧0の時、f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2),y/√(x^2+y^2+z^2),z/√(x^2+y^2+z^2))
z<0の時、f(x,y,z)=(-x/√(x^2+y^2+z^2),-y/√(x^2+y^2+z^2),-z/√(x^2+y^2+z^2))
と定義するとよいでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。なかなか難しいですね。。しかも、今自分はP^2の図形のイメージも自分が思っているのでいいのかわからなくなりました。P^2はある半径rの球と考えていいんですよね?それの商空間は、赤道半分に上半球みたいなものがくっついたものでよろしいのでしょうか?

お礼日時:2003/11/05 12:16

#2です。


well-definedという意味はご存知でしょうか?
直訳すれば「うまく定義されている」ということ。
f:R^3-{0}→S^2 からf~:P^2→S^2を導くのに、
点A(x,y,z)、点B(λx,λy,λz)に対して(λ≠0)、
f(A)=f(B)でなければf~が導き出せません。

直感的に言うと、#2で私が示した写像fは、原点を除く3次元ユークリッド空間の
点A(x,y,z)に対して、ベクトルOA=(x,y,z)を同じ方向を持つ
単位ベクトル(x/|OA|, y/|OA|, z/|OA|)の終点に対応させるものですから、
f(A)=f(B)は当然成り立ちます(といいますか、そうなるように写像を作ったわけですが)。
それを式の変形により示すことがwell-definedを示すことです。

このあとは、f~:P^2→S^2より、f~~:P^2→P/~を導き出します。
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R^3-{0} => S^2


↓     ↓
P^2    => S^2/~

こういうのって上のダイアグラムが自然と出てこないと難しいよね。
下の人のR^3-{0} => S^2 の対応と縦の矢印が射影になってることから、
P^2    => S^2/~ が見えてくるのではないでしょうか?

well-defined を示して、コンパクトでハウスドルフなので全単射連続が
言えればよいでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。その射影という概念が自分では非常に難しいですね。同相が自明だと思っていてもその同相関数を見つけるのは簡単じゃないなぁって実感している最中です。
ところで、well-definedを示すっていうのは、どういうことをいえればいいのでしょうか?

お礼日時:2003/10/30 12:18

20年以上前に数学科を卒業した者です。



> 方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、
> それをどのようにとればいいのか

この場合だとR^3-{0}からS^2(2次元球面)への写像をまず考えてやればいいかと
思います。

> これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか?

同相が自明のように思った時でも、その同相写像を考えてみるといった、
地道な作業の積み重ねが必要だと思います。
あとは問題を数こなすことによる、その作業の繰り返しも。

高校までの数学だったら、先生がいろいろと問題を出したり、
問題集の本が出ているので、それをたくさんやるといった作業をしていたはずです。
大学に入ると先生はそこまで親切ではないし、問題集といってもそんなにあるわけ
じゃない。でもそれをしないと本当に自分のものにはならない。
ではどうすればいいか?
同じ数学をやってる友人と切磋琢磨して共同で勉強するか、
大学の助手に作ってもらう等の方法が考えられます。

私は学生時代、その辺を中途半端にしかやらなかったので、完璧にわかるには
程遠い結果になったのかもしれません。

さて、この問題ですが、

2次元射影空間P^2の定義は、(x,y,z)∈R^3-{0}を、
(x,y,z)~(x',y',z') ⇔ x'=λx, y'=λy, z'=λz(λ≠0)
なる同値類~で割った空間 P^2=R^3-{0}/~ である。

をふまえて、

f:R^3-{0}→S^2を
f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
で定義したものを考えてみてください。
ここから写像P^2→P/~を誘導します。
ヒントということなので、これ以上は書きません。
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この回答へのお礼

親切アドバイスをほんとうにありがとうございます。やはりあきらめずに粘り強く考えるのが大切なんですね。自分は数学科ですが高校まで数学が好きで得意だったんですが、大学になって自分は数学ができないんじゃないのかって思いはじめました。「できる」っていう定義が高校と大学ではまったく違うといいますか。
とりあえずがんばってやみます!

お礼日時:2003/10/30 12:21

>解法のヒント


球形のランプの上に板が乗っているところを想像しましょう。
その板が実は平面で、ランプの電球が正確に球の中心にあるとすると…

これで分かっていただけるかどうか判らないので、回答に対する自信は「なし」にいたします。
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Q同相であることの証明

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次に、ユークリッド平面上にない、無限遠点∞をユークリッド平面に加えた集合を考え、
球面からその集合への写像Fを、fを拡張し、F((0,0,1))=∞ という風に設定します。
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>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
Xの任意の元x,y,zにたいして
(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
この同値関係Rを用いて,Xの任意の元xに対して
集合{y∈X | yRx}を定める.これをxのRによる同値類といい
[x]と表す.
このとき,同値類の集合{[x] | x∈X}を
X/R と表し,XのRによる商集合(商空間)という.
#これはまさに同値関係でつながるということで
#空間を割り算しているようなもの

このとき,自然な写像
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最小の位相をX/Rに導入する.
すなわち,Xの任意の開集合Oに対して,
X/Rの部分集合 p_R^{-1}(O) が開集合であるとして
X/Rに位相を導入する.
この位相のことを,X/Rの商位相という.

これを拡大解釈して,
一般に全射 f:X -> Y に対して
f^{-1}(O) (OはYの開集合)がXの位相を定めるときに
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このとき,写像g;Y -> Zを考える.
Zの開集合Oに対して,gf:X->Zに対して
(gf)^{-1}(O)= f^{-1}(g^{-1}(O))
であることに注意する.
gが連続であるならば,fが連続なので合成gfは連続
gfが連続あるならば,
(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
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すなわし,gは連続である.

以上かな.
大抵の基本的な本にはこの程度のことは
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>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

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Q同相でないことを示す問です。

「実数1次元ユークリッド位相空間と実数2次元ユークリッド位相空間」が同相でないことを示せ。という問について教えてください。
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 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

残念ながら、実数体をRと書くことにして、RとR^2は等濃(濃度は等しい)です。つまり、R^2からRへの全単射gは存在するのですが(証明は適当な資料を参照してください)、ここでR^2からRへの全単射gは絶対に『連続でない』事を言えばよいです。

方針は、例えばRの閉区間I = [0,1]からR^2への写像hをh(t) = (cos(2πt), sin(2πt))で定めると(原点を中心にクルッと一周するような写像)、hは連続で、h(x) = h(y)かつx<yとなるのは明らかにx=0, y=1の時だけです。そこで、R^2からRへの連続な全単射gがあるものとし、g○h=jを考えると、jはI=[0,1]からRへの連続な写像で、またj(x) = j(y)かつx<yとなるのはx=0, y=1の時だけです。

ところで最大値の定理からj(I)は最大値及び最小値を持ちます。このうち少なくとも一方はj(0)とは違うのでその値をmとすると、j(0)とmの間の数を考えた時、中間値の定理からなんだか変な事になっている事を示せばよいです。


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