図形同士が同相であるという証明

上半球面P={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z≧０}で、E={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z=０}を赤道とする。このときPに関係　ｘ～－ｘ（∀ｘ∈E）で生成される同値関係”～”を考えて得られる商空間P/～が、２次元射影空間P~2と同相になることを示せ。

この問題なんですが、図では確かにどちらも同じ形になるので、同相になるんだろうとは思うんですが、その証明になると手が止まってしまうんです。方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、それをどのようにとればいいのか（全単射で逆像も連続なもの）がまったく思い浮かびません。
これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか？だれか解法のヒントと、後者のコメントをお願いします。よろしくお願いします。

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2003/10/29 14:24

＞解法のヒント

球形のランプの上に板が乗っているところを想像しましょう。
その板が実は平面で、ランプの電球が正確に球の中心にあるとすると…

これで分かっていただけるかどうか判らないので、回答に対する自信は「なし」にいたします。

No.2 回答者： prome 回答日時： 2003/10/29 15:01

20年以上前に数学科を卒業した者です。

> 方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、
> それをどのようにとればいいのか

この場合だとR^3-{0}からS^2（2次元球面）への写像をまず考えてやればいいかと
思います。

> これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか？

同相が自明のように思った時でも、その同相写像を考えてみるといった、
地道な作業の積み重ねが必要だと思います。
あとは問題を数こなすことによる、その作業の繰り返しも。

高校までの数学だったら、先生がいろいろと問題を出したり、
問題集の本が出ているので、それをたくさんやるといった作業をしていたはずです。
大学に入ると先生はそこまで親切ではないし、問題集といってもそんなにあるわけ
じゃない。でもそれをしないと本当に自分のものにはならない。
ではどうすればいいか？
同じ数学をやってる友人と切磋琢磨して共同で勉強するか、
大学の助手に作ってもらう等の方法が考えられます。

私は学生時代、その辺を中途半端にしかやらなかったので、完璧にわかるには
程遠い結果になったのかもしれません。

さて、この問題ですが、

2次元射影空間P^2の定義は、(x,y,z)∈R^3-{0}を、
(x,y,z)～(x',y',z') ⇔ x'=λx, y'=λy, z'=λz（λ≠0）
なる同値類～で割った空間 P^2=R^3-{0}/～ である。

をふまえて、

f:R^3-{0}→S^2を
f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
で定義したものを考えてみてください。
ここから写像P^2→P/～を誘導します。
ヒントということなので、これ以上は書きません。

この回答へのお礼

親切アドバイスをほんとうにありがとうございます。やはりあきらめずに粘り強く考えるのが大切なんですね。自分は数学科ですが高校まで数学が好きで得意だったんですが、大学になって自分は数学ができないんじゃないのかって思いはじめました。「できる」っていう定義が高校と大学ではまったく違うといいますか。
とりあえずがんばってやみます！

お礼日時：2003/10/30 12:21

No.3 回答者： hogehogelucy 回答日時： 2003/10/30 00:36

R^3-{0}　=> S^2

↓　　　　　↓
P^2 　　 => S^2/～

こういうのって上のダイアグラムが自然と出てこないと難しいよね。
下の人のR^3-{0}　=> S^2 の対応と縦の矢印が射影になってることから、
P^2 　　 => S^2/～　が見えてくるのではないでしょうか？

well-defined を示して、コンパクトでハウスドルフなので全単射連続が
言えればよいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。その射影という概念が自分では非常に難しいですね。同相が自明だと思っていてもその同相関数を見つけるのは簡単じゃないなぁって実感している最中です。
ところで、well-definedを示すっていうのは、どういうことをいえればいいのでしょうか？

お礼日時：2003/10/30 12:18

No.4 回答者： prome 回答日時： 2003/10/31 13:52

#2です。

well-definedという意味はご存知でしょうか？
直訳すれば「うまく定義されている」ということ。
f:R^3-{0}→S^2 からf~:P^2→S^2を導くのに、
点A(x,y,z)、点B(λx,λy,λz)に対して（λ≠0）、
f(A)=f(B)でなければf~が導き出せません。

直感的に言うと、#2で私が示した写像fは、原点を除く3次元ユークリッド空間の
点A(x,y,z)に対して、ベクトルOA=(x,y,z)を同じ方向を持つ
単位ベクトル(x/|OA|, y/|OA|, z/|OA|)の終点に対応させるものですから、
f(A)=f(B)は当然成り立ちます（といいますか、そうなるように写像を作ったわけですが）。
それを式の変形により示すことがwell-definedを示すことです。

このあとは、f~:P^2→S^2より、f~~:P^2→P/～を導き出します。

No.5 回答者： prome 回答日時： 2003/11/01 10:37

#2,#4です。

#4でf:R^3-{0]→S^2からf~:P^2→S^2を導く云々と書きましたが、まずfからf~:R^3-{0}→P/～を導いてからf~~:P^2→P/～を導かないといけませんね。
なぜならA=(x,y,z),B=(-x,-y,-z)に対して、P^2上ではAとBは同値にもかかわらず、f(A)=-f(B)になっているので、f~:P^2→S^2は「うまく定義」できません。

失礼しました。

f~:R^3-{0}→P/～は、(x,y,z)∈R^3-{0}に対して、
z≧0の時、f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2),y/√(x^2+y^2+z^2),z/√(x^2+y^2+z^2))
z＜0の時、f(x,y,z)=(-x/√(x^2+y^2+z^2),-y/√(x^2+y^2+z^2),-z/√(x^2+y^2+z^2))
と定義するとよいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。なかなか難しいですね。。しかも、今自分はP^2の図形のイメージも自分が思っているのでいいのかわからなくなりました。P^2はある半径ｒの球と考えていいんですよね？それの商空間は、赤道半分に上半球みたいなものがくっついたものでよろしいのでしょうか？

お礼日時：2003/11/05 12:16

No.6 回答者： prome 回答日時： 2003/11/05 18:58

> P^2はある半径ｒの球と考えていいんですよね？それの商空間は、赤道半分に上半球み

> たいなものがくっついたものでよろしいのでしょうか？

いえ、P^2は私が#2で書きました、定義に基づく2次元射影空間のことです。

今思ったんですが、あなたが考えておられるP^2の定義は、私が示したものとは違うんでしょうか？
> 確かにどちらも同じ形になる
とおっしゃられていますが、私のP^2の定義だとそう簡単に同じ形だとは言えないように思いますが．．．

この回答へのお礼

ありがとうございます。少し自分でもこんがらがっていました。確かに直感的にはいえそうにないです。
また、自分ではなかなかwell-definedが証明できないです。いったい何を言えば良いのか。最近ではwell-definedがたくさんでてきて、しかし、先生方は明らかみたいな感じで。。。少し拒否反応さえ感じます。どうかよかったらご指導お願いします。

お礼日時：2003/11/10 16:21

No.7 ベストアンサー 回答者： prome 回答日時： 2003/11/13 11:34

この議論を平たく言うとこんな感じです。

P^2の定義である、(x,y,z)∈R^3-{0}に対して
(x,y,z)～(x',y',z') ⇔ x'=λx, y'=λy, z'=λz（λ≠0）
という同値関係というのは、R^3内で原点を通る直線を１点に縮めるということ。
縮めた１点をどこに置こうか？そうだ！半径１の球面上（S^2）に置こう。
そうすると縮められた１点はすべてS^2上に来ます。
ただし原点を通る直線は、S^2と２点で交わっている。
その２点は原点に対して対称な点（対心点）だ。
ということは初めから上半球面Pを考えてやればよい。
ただPがZ=0の平面と交わる部分は、対心点同士をくっつけてやる必要がある。
それがP/～。

この議論を精密化すれば、P/～が2次元射影空間P^2と同相だということを証明したことに
なります。

【証明】
f:R^3-{0}→Pを
z≧0の時、f(x,y,z)=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2))
z＜0の時、f(x,y,z)=(-x/√(x^2+y^2+z^2), -y/√(x^2+y^2+z^2), -z/√(x^2+y^2+z^2))
と定義します。

点A=(x,y,z)、点B=(λx,λy,λz)に対して（λ≠0）、
f(A)=f(B)なので、fと同じ式でf~:P^2→Pが定義できます。

さらに(x,y,z)のP^2での同値類を[x,y,z]と書くとすると、
f~[x,y,0]=(x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), 0)
f~[-x,-y,0]=(-x/√(x^2+y^2+z^2), -y/√(x^2+y^2+z^2), 0)
で、[x,y,0]と[-x,-y,0]はP^2での同値類の意味で等しく、
また右辺はP/～の同値類の意味で等しいので、f~~:P^2→P/～が定義できます。

(x,y,z)のP/～での同値類を[[x,y,z]]と書くとします。g:P/～→P^2を
g[[x,y,z]]=[x,y,z]
で定義すると、P/～、P^2の定義よりwell-definedです。
f~~,gは共に連続で、
g・f~~[x,y,z]=g[[x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2)]]
=g[[x,y,z]] （x^2+y^2+z^2=1 だから）
=[x,y,z]
f~~・g[[x,y,z]]=f~~[x,y,z]
=[[x/√(x^2+y^2+z^2), y/√(x^2+y^2+z^2), z/√(x^2+y^2+z^2)]]
=[[λx,λy,λz]] (λ=1/√(x^2+y^2+z^2)とおく）
=[[x,y,z]]
となってg・f~~とf~~・gは共に恒等写像ですから、同相写像。
ゆえにP^2とP/～は同相です。

これでOKと思いますが、いかがでしょう？
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位相数学をやっていて、最初によくつまってしまうのが商空間（等化空間）。
群論でも商群（剰余群）がつまりやすい。
でも大学数学はこの"商"の考え方がよく出てくるし、また重要でもあります。
この辺はたくさんの問題を解いて、慣れていくしかないと思います。

あとは自分でじっくりと考えてください。
私にはこれ以上、わかりやすく説明ができません。