ストークス定理

xy平面上の円　ｃ：ｘ＾２＋ｙ＾２＝４に沿って。A(x,y,z)＝（ｘ＾２＋ｙ、ｘ＾２＋２ｚ、２ｙ）の線積分∫c A・dｒをストークス定理を用いて求めよ。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2011/08/05 21:25

ストークス定理より

∫c A・dｒ=∫s rot(A)・ds

sはcによって囲まれる円の中の微小面積

煩雑さを避けるためベクトル記号は適宜省略

A(x,y,z)＝（ｘ＾２＋ｙ、ｘ＾２＋２ｚ、２ｙ）のとき

rot(A)=(0,0,2x-1)=(2x-1)k

kはz方向の単位ベクトル

ds=nds=kds

故に

∫c A・dｒ=∫s rot(A)・ds=∫s (2x-1)ds

計算の都合上、極座標表示する。ds=rdrdΘ

∫c A・dｒ=∫(0~2π)∫(0~2)(2rcosΘ-1)rdΘdr

Θによる積分を先に行う

∫c A・dｒ=∫(0~2)[(2rsinΘ-Θ)](0~2π)rdr=-2π∫(0~2)rdr
=--2π[r^2/2] (0~2)=-4π


(注)直接∫c A・dｒを計算して答えが一致することを確かめること。

No.1 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/08/05 12:56

1) ストークスの定理 という公式を調べましょう。

2) rot A の面積積分が出てきます。
まず，直角座標におけるrot A の公式を調べましょう。
これに代入すると，rot A　の成分表示が求まります。
3) そのz成分を半径2の円内で面積積分して下さい。

4) 検算として，Aを直接線積分した値と比較してみます。

計算は自分でやってみないと力がつきません。
どこまでわかって，どこでつまずいたか，を明確にして，
もう一度聞いてみてください。