確率の計算方法について

基本的な確率の問題だと思うのですが、数字が苦手すぎて悩んでおります。。
下記の内容につきまして、計算式や考え方などをご教示いただけますと幸いです。

縁日で輪投げをしました。
5本の輪が入るとA賞、10本の輪が入るとB賞、15本の輪が入るとC賞
と景品がもらえます。
景品は各賞につき3種類ずつあります。
（ここでは、A賞の景品⇒a、b、c　B賞の景品⇒d、e、f　C賞の景品⇒g、f、i　　とします）

【質問】
　 このような条件下で、全部で20本の輪が入った場合、
　 各賞の景品をもらえる確率はどれくらいでしょうか？
また、さらに細かく、A賞の景品「a」、C賞の景品「g」をもらえる確率はどれくらいでしょうか？

　※20本の輪を獲得するために投げた輪の本数はここでは考えないものとします。


上記のような場合の確率の出し方をご教示いただけますと幸いです。
不足情報等ございましたら補足させていただきます。

よろしくお願いいたします。
　

No.7 回答者： syoyaku072 回答日時： 2011/09/06 16:34

質問者さんはまだいるのかしら？

ざっと読み返して問題と条件の整理をすると

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
問題
ある輪投げ屋さんには入った輪の数によって、A賞,B賞,C賞の３つの賞が決められており、各々の賞について3種類ずつ景品(A賞a~c、B賞d~f、C賞g~i）が用意されている。
入った輪の数が5の倍数の時はAの景品を、10の倍数の時はB賞の景品を、15の倍数の時はC賞の景品がもらえる。ただし、各々の賞の景品はランダムに選択される。

今、A君が輪投げをしたところ20本の輪が入った。このときA君が入手できる景品の確率を求めなさい。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

になりますね。（専門家ではないので、おかしいところもあると思いますが）
さて、各景品のもらえる確率を求めたいわけですが、まだ条件不足な箇所があります。

それは、「各賞に用意されている景品は全て同じ数だけあるのか」と「景品を１つ入手した場合、その分の景品は新たに補充されるのか、それとも１つ減った状態なのか」ということです。

No.6 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/09/05 20:16

補足ありがとう　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ　Ｎｏ．４，５　です。

ちょっと考えたのですが、今のままででないことはないんですよ＾＾；

あんまりお勧めはできませんが＞＜

　＃もらえる確率が、１００％を超えている状態ですからね。。。

樹形図というのを、下に書いています。

これを少し見てもらうと、確率は出てくるんですよ。


条件を付けたほうがいいのかもしれないですので、ちょっと考えますね。

スイマセン、今ちょっと体調がね＾＾；


えっと、Ａ賞のみを考えています。そして、商品ａがもらえる確率を考えます。

一回目でａがもらえるのは　（１／３）

二回目　同上　　　　　　　（２／３）×（１／３）

三回目　同上　　　　　　　（２／３）＾２　×（１／３）

四回目　同上　　　　　　　（２／３）＾３　×（１／３）

となりますね。　これを計算すると

（１／３）｛１＋（２／３）＋（２／３）＾２　＋　（２／３）＾３｝

＝（１／３）（６５／２７）＝（６５／８１）　となります。

結構厄介＞＜　

で、何故お勧めしないかというと、「一般性を損なわずに、ｂｃを得る確率も同じ」と

できるんですね。　同じことが、ｂｃにも言えますね。

なので、　Ａ賞の商品三個に対して、三倍すると、（６５／２７）となり、

求めたはずの　（４／３）と等しくなりませんね。

　＃等しくなるはずは絶対にないのですが。。。＾＾；

ここがごっちゃになるので、この方法はお勧めできません。

　＃少なくとも一つもらえる確率を出しているだけなので、等しくならないんですね。


ちょっとついでに、確率の大事な式を。

（当たる確率）＋（外れる確率）＝１　　これ大事ですよ＾＾；

なので、（ａを最低一つもらえる確率）＝１－（ａがもらえない確率）

＝１－（２／３）＾４＝・・・計算すると・・・＝（６５／８１）　になります。

「４回あるうちに少なくとも１つ　狙ったＡ賞の商品が得られる確率」は

これで出せますよ。　ちょっと余計な勉強かもしれませんが、樹形図なんかが面白いので。

条件がつくと掛け算になりますので、気をつけて。

補足の分はまた考えておきますね。　すぐにできると楽なんだけど＾＾；

少しお待ちください　ｍ（＿　＿）ｍ

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.5 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/09/04 18:07

補足感謝　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ　Ｎｏ．４です

えっと、５本入った時点で、Ａ賞が１つ。１０本でＡ賞がもう１つと、Ｂ賞が１つ。

１５本で　Ａ賞・・・　ということですね♪　了解(o｀・ω・)ゞデシ!!


では順に考えて行きます。

（１）　５本入ったとき
Ａ賞が発生しますね。　確率が等しいので（と補足にありましたｍ（＿　＿）ｍ）

ａ，ｂ，ｃは　おのおの　（１／３）　でもらえます。

（２）１０本入ったとき
Ａ、Ｂ賞が発生ですね。　
おなじく、ａ，ｂ，ｃが（１／３）、ｄ、ｅ、ｆも（１／３）　ですね

（３）１５本入ったとき。
（２）に、ｇ，ｈ，ｉ　が　（１／３）　で発生します。

（４）２０本　入ったとき
　これは　（２）と全く同じですね。


これが、全部独立で起こっているので、足して構いません。

条件がついて、（Ａ）が起こっていれば（Ｂ）が起こる　ということではないので
掛け算ではないんですよ＾＾；
　＃商品の話ですよ、わっかの本数ではないですよ。
　＃Ａ，Ｂ，Ｃ賞の発生は、全部別々ですよね。そこにつながりはないですから。
　　＃これを（独立試行）というのですが。

順を追います。

（ｉ）ａ，ｂ，ｃ　の三つ（Ａ賞の分です）　（１／３）×４　ですね。

１００％を超えますが、全部もらえるとは限りません。

４つもらえるのは確かですが、重なる可能性があります。全部ａでもおかしくないんです。

ですので、ここ少し難しい考え方なのですが

ａ　がもらえるのは　（１／３）　が　４回ある　としかいえません。
ｂ，ｃも同じです。
　＃重なる可能性があるので、ちょっとだけ変な感じです。

Ａ賞が４個もらえるってだけで、どの商品かは、あくまで１／３　が４回です。


（ｉｉ）ｄ，ｅ，ｆ　の三つ　（Ｂ賞の分です）　（１／３）×２　ですね。

全く同じで、ｄが２個というのも考えられます。

（ｉｉｉ）ｇ，ｈ，ｉ　の三つ（Ｃ賞の分です）　これは一回だけですね。

おのおの　１／３　です。　

変な回答ですが、こういう回答にしかならないです＞＜


ものすごく気持ちは悪いのですが、

サイコロで、「１，２」　「３，４」　「５，６」　と分けておきます。

一回振ります。　「１」がでましたと。

次にサイコロ振るときに、「１」がでないか？　でますね普通に・・・。

または「２」も普通にでますね。　「１，２」を商品ａ　だと思ってみてください。

サイコロ４回振る、ってことでしかないんですね。

　＃同様に　「３，４」をｂ　、　「５，６」をｃ　として考えてみてください。


４回と、意外に少ない数ですから、でないのがあるかもしれませんね。
　＃多いと逆に、満遍なくでるのですが・・・。


こんな感じになりそうですよ。

分かられないところとか、これが違うというところあれば、おっしゃってください。

分かろうとしてくださる方には書きますから♪

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

　＃補足かいてくださいましたからね、分かろうとされていると思いますので。

ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

この回答への補足

ご丁寧にご回答いただき、ありがとうございます！

---------------------------------------------------------
（ｉ）ａ，ｂ，ｃ　の三つ（Ａ賞の分です）　（１／３）×４　ですね。

１００％を超えますが、全部もらえるとは限りません。

４つもらえるのは確かですが、重なる可能性があります。全部ａでもおかしくないんです。

ですので、ここ少し難しい考え方なのですが

ａ　がもらえるのは　（１／３）　が　４回ある　としかいえません。
ｂ，ｃも同じです。
---------------------------------------------------------

ということなのですが、なるほど確かにその通り・・・！と納得しました。
aがもらえるのは1/3×4＝4/3ではないんですね。

もう少し条件を定義すれば、確率は求められるものでしょうか…？
たとえば、
20本輪を入れた場合、A賞の景品が４つもらえます。
もらえる4つの景品のうち、3つ以上が同じ景品になることはありません。
（全部景品a、とか、3つはaで1つはb、という場合はあり得ない、ということ。）
この場合、A賞の景品a、b、cをもらえる確率はどのくらいか？
となった場合は、どうでしょうか。。

無知すぎて本当に申し訳ございませんが、お知恵を貸していただけますと
幸いです。

補足日時：2011/09/04 20:10

No.4 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/09/04 16:59

代数学屋さん(o｀・ω・)ゞデシ!!　（今臥せっているけど）

補足をお願いします　ｍ（＿　＿）ｍ

１．２０本入れるのはいいとして、それを　どういう風に

分配するのでしょうか？　（Ａ賞を１個とＣ賞１個）、（Ｂ賞を２個）、

（Ａ賞２つとＢ賞を１つ）　の３通りが考えられます。

　これは、誰に決定権があるのでしょうか？

２．Ａ，Ｂ，Ｃ　賞の　各景品の　おなじく決定権は　誰にあるのでしょうか。

３．　上記２に関して、決定権が自分のないとすると、もらえる確率は

おのおの等しいのでしょうか？

この３つが足りません＞＜

自分に全ての決定権があるのでしたら、全ての景品に関して

欲しいものは１００％手に入りますよ。

　＃もちろん、２０本入れているのですから、上記１の各賞の中で　ということになりますが。

えっと、一応ですね、「最大にもらえるものと仮定して」上記１を立てています。

ここは多分これでいけると思うのですが、何か特別なルールが抜け落ちていれば

４．として　あげてください。

で、ないと　解きようがないんですよ。。

よろしくお願いします　ｍ（＿　＿）ｍ

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
すいません、捕足させていただきます。


１．２０本入れるのはいいとして、それを　どういう風に分配するのでしょうか？　（Ａ賞を１個とＣ賞１個）、（Ｂ賞を２個）、（Ａ賞２つとＢ賞を１つ）　の３通りが考えられます。
これは、誰に決定権があるのでしょうか？

⇒輪は20本確実に入ったとしています。
分配方法としては、5本入ったらA賞、10本入ったらB賞とA賞、15本入ったらC賞、20本入ったらA賞とB賞がもらえる、と想定しています。5の倍数の数の輪が入るごとにA賞がもらえ、10の倍数の数の輪が入るごとにB賞がもらえ、15の倍数の数の輪が入るごとにC賞がもらえる、といったかたちです。
どちらかというと、20本輪が入ったら、A賞は4個、B賞は2個、C賞は1個　もらえるというイメージです。

決定権は自分にはありません。上記のような規則で、賞品はランダムにもらえると想定しています。


２．Ａ，Ｂ，Ｃ　賞の　各景品の　おなじく決定権は　誰にあるのでしょうか。

⇒各景品はランダムにもらえると想定しています。自分では選べません。


３．上記２に関して、決定権が自分のないとすると、もらえる確率は
おのおの等しいのでしょうか？

⇒はい、確率は等しいと想定しています。


以上です。

質問内容が不明確で大変申し訳ありませんでした。。
上記でも不足な事項がございましたら、ご指摘いただけますと幸いです。
何卒よろしくお願いいたします。

補足日時：2011/09/04 17:35

No.3 回答者： s1013129 回答日時： 2011/09/04 16:35

問題文の解釈が難しいですが、、

以下の条件で良いでしょうか

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
15本の棒があり、20個の輪を投げて棒に入れていく。
なお、輪投げは100％成功するものとする。
また、どの棒に入る確率も等しいとする。
輪が1つ以上かかっている棒が5～9本あればＡ賞、10～14本あればＢ賞、15本以上あればＣ賞が貰える。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

もしくは次のような感じですか？

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
Ａ賞の棒、Ｂ賞の棒、Ｃ賞の棒があり、20個の輪を投げて棒に入れていく。
なお、輪投げは100％成功するものとする。
また、どの棒に入る確率も等しいとする。
Ａ賞の棒に5本入る毎にＡ賞が、Ｂ賞の棒に10本入る毎にＢ賞が、Ｃ賞の棒に15本以上入るとＣ賞が貰える。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。質問内容が不明確で申し訳ございません。。

条件としましては、

輪は20本確実に入ったとしています。
5本入ったらA賞、10本入ったらB賞とA賞、15本入ったらC賞、20本入ったらA賞とB賞がもらえる、と想定しています。5の倍数の数の輪が入るごとにA賞がもらえ、10の倍数の数の輪が入るごとにB賞がもらえ、15の倍数の数の輪が入るごとにC賞がもらえる、といったかたちです。
20本輪が入ったら、A賞は4個、B賞は2個、C賞は1個　もらえるというイメージです。
獲得した輪の本数が50本だった場合はA賞は10個、B賞は5個、C賞は3個（3.33…個）もらえる、というイメージです。

何を決定するにおいても決定権は自分にはありません。
上記のような規則で、賞品はランダムにもらえると想定しています。

最終的に知りたいこととしましては、上記のような場合のA賞の各景品（a、b、c)、B賞の各景品（d、e、f）、C賞の各景品（g、h、i）
がもらえる確率を知りたいです。。

以上です。

質問内容が不明確で大変申し訳ありませんでした。。
上記でも不足な事項がございましたら、ご指摘いただけますと幸いです。
何卒よろしくお願いいたします。

補足日時：2011/09/04 17:47

No.2 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/09/04 16:12

A賞(5本)を4個とか、A賞(5本)とC賞(15本ん)とか、B賞(10本)を2個とか、他にもいろんな組み合わせが考えられますが、どの組み合わせにするかの決定権は誰にあるのですか？

A賞にした場合、aかbかcかは、選ぶことができるのですか？それとも、ランダム(くじ引き？)ですか？

もし、賞の組み合わせも、景品の選択も、自由にできるとしたら、A賞の景品aをもらえる確率も、C賞の景品gをもらえる確率も、100%です。
それが欲しい、って言えば、もらえるんですから。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。質問内容が不明確かつ不足しており申し訳ございません。。

何を決定するにおいても決定権は自分にはありません。
上記のような規則で、賞品はランダムにもらえると想定しています。（どの商品も等しい確率で選択されます）

賞の組み合わせについては、
5本入ったらA賞、10本入ったらB賞とA賞、15本入ったらC賞、20本入ったらA賞とB賞がもらえる、と想定しています。5の倍数の数の輪が入るごとにA賞がもらえ、10の倍数の数の輪が入るごとにB賞がもらえ、15の倍数の数の輪が入るごとにC賞がもらえる、といったかたちです。
20本輪が入ったら、A賞は4個、B賞は2個、C賞は1個　もらえるというイメージです。
獲得した輪の本数が50本だった場合はA賞は10個、B賞は5個、C賞は3個（3.33…個）もらえる、というイメージです。

最終的に知りたいこととしましては、上記のような場合のA賞の各景品（a、b、c)、B賞の各景品（d、e、f）、C賞の各景品（g、h、i）
がもらえる確率を知りたいです。。

以上です。

上記でも不足な事項がございましたら、ご指摘いただけますと幸いです。
何卒よろしくお願いいたします。

補足日時：2011/09/04 17:51

No.1 回答者： syoyaku072 回答日時： 2011/09/04 15:57

＞＞※20本の輪を獲得するために投げた輪の本数はここでは考えないものとします

そうなると分母が無いので計算できません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

おっしゃる通り、分母がないと計算できないかもしれない。。と
悩みながら質問を投稿させていただきました。

今回の質問内容におきましては、輪は20本確実に入ったと想定しております。
輪を20本入れるために何回輪を投げたかは考えず、20本輪を獲得した、という事実のみで
賞の各景品（a、b、c)、B賞の各景品（d、e、f）、C賞の各景品（g、h、i）
がもらえる確率を導き出したいと考えております。

質問内容が不明確で大変申し訳ありませんでした。。
上記でも不足な事項がございましたら、ご指摘いただけますと幸いです。
何卒よろしくお願いいたします。

補足日時：2011/09/04 17:57