東大の過去問で確率の質問です。

Question

1984年に東大文理共通問題として、
第５問で出された確率の問題で解法の意味がわからないので
教えて頂きたいです。

【問】
各世代ごとに、各個体が、他の個体とは独立に、確率pで１個、
確率1-pで２個の新しい個体を次の世代にに残し、それ自身は
消滅する細胞がある。いま、第０世代に１個であった細胞が、
第n世代にm個となる確率を、Pn（m）とかくことにしよう。
nを自然数とするとき、Pn（1）、Pn（2）、Pn（3）を求めよ。

【解】
Pn（1）は省略します。

Pn（2）を求める。
はじめて２個になるのが第k世代（1≦k≦n）である場合の確率は、
第k-1世代では１個で、第k世代で２個となり、その２個それぞれについて
第k+1世代から第n世代までのn-k個の世代は１個のままである確率なので・・・
（以下計算）

n≧2のとき、Pn（3）を求める。
はじめて２個になるのが第k世代（1≦k≦n-1）である場合の確率は、
第k-1世代では１個で第k世代で２個となり、その２個のうち一方について
第k+1世代から数えてn-k世代目にあたる第n世代で２個になり、
他方については第k+1世代から第n世代まで１個のままである確率なので・・・
（以下計算）

ちなみに赤本の解法です。

ここで、私が疑問に思うのは
「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」
と定義してあるのに、なぜ、Pn（2）を求める際に２個となった第k世代以降のことも
考えなければならないのか、ということです。
「第n世代にm個“である”確率を、Pn（m）とかく」であれば、
この解法でも納得がいくのですが・・・

さらに疑問に思うのは、
Pn（3）を求める時には第n世代で一方が２個になったところまでしか考えていないところです。
たしかに、「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」と定義してますから、
一方が２個、すなわち全体で３個になったところで終わりにするのは理解できます。
しかし、これでは、P（2）を求める時の考え方と違うと思うのです。
「第n世代にm個“である”確率を、Pn（m）とかく」と解釈するのであれば、
全体で３個になった以降のことも考えるべきだと思います。

Pn（m）の定義をどう解釈すれば、Pn（2）とPn（3）の解法両方をすんなり理解できるのでしょうか。
また、私の考え方のどこが間違っているのか指摘して頂けるとありがたいです。
よろしくお願いします。

naniwacchi · Accepted Answer

こんばんわ。

いずれの場合もどのようなことを書いているのか、
視覚化（見える化）した方がいいですね。
添付のような図を考えてみました。

【Pn(2)】
n世代の手前のどこかで、個体数が＋１となるイベントがあればいいことになります。

【Pn(3)】
まず、第 0世代では細胞は 1個しかないので、いきなり 3個になることはありません。
つまり、スタート 1個→ ＋１→ ＋１という遷移をおこないます。

＞Pn（3）を求める時には第n世代で一方が２個になったところまでしか考えていないところです。
少し言葉が足りないかと思います。
第 n世代で「2つある細胞の内、どちらか一方が 2つになる」ということです。
そして、それは n-k世代の間に起きなければなりません。

その n-k世代のところだけをみると、ちょうど Pn(2)を考えているときと同じになっています。
違うのは、2つのうちどちらか一方の細胞を「選択」しないといけない分だけ、
場合の数があることです。

alice_44 · Answer

「となる確率」は、確かに、微妙な言い方ですね。
「となっている確率」のつもりで言っている
んでしょうけどね。

赤本の解法で「である確率」を求めてしまえば、
それを使って、貴方の意味での「となる確率」
を求めることもできます。
ただし、試験であれば、出題者の気持ちを汲んで
題意を受けとることも必要でしょう。
A No.2 さんの解釈が、常識的かと思います。

Pn(3) については、
2 個になった後の処理に Pn(2) を使っていますから、
3 個になった後のことは、そこで考慮されています。
「である確率」のほうが計算されているのです。

f272 · Answer

A. 「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」
B. 「第n世代にm個“である”確率を、Pn（m）とかく」
この二つは同じこと。Aでは別に第n世代に初めてm個になるとは言っていない。

itaitatk · Answer

ここで、私が疑問に思うのは
「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」
と定義してあるのに、なぜ、Pn（2）を求める際に２個となった第k世代以降のことも
考えなければならないのか、ということです。

ここを考えないと最終的に何個になるかを考えていないということになるからです。ｋの時点で二個になりその後1個増えて一個死ね場合でした最終的に2個にならないので

東大の過去問で確率の質問です。

こんばんわ。

「となる確率」は、確かに、微妙な言い方ですね。

A. 「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」

ここで、私が疑問に思うのは

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