
ユークリッド空間とはユークリッド変換の対象となる空間であると認識
しています。
ユークリッド変換は、回転、鏡映、平行移動です。
ユークリッド変換は、直交変換+平行移動と説明されたりしますが、
直交変換とはなんでしょうか?直交行列と関係あるのでしょうか?
直交行列は、ある行列Aの転置行列がAの逆行列と等しい行列で
ある事は理解できています。
回転行列は直交行列の一つだと認識しています。
線形変換(回転、鏡映、拡大・縮小、剪断)のなかで直交変換に
あたるものは回転以外になにがありますでしょうか?鏡映も回転と
ほとんど同意なので含まれると考えています。
ユークリッド変換の数学的な定義は調べたのですがわかりませんでした。
ユークリッド変換の数学的な定義を以下のように教えて頂けませんか?
ちなみに、
線形変換の定義は、
K上の線形空間V上の変換fで、x,y∈V,a,b∈Kについて常に、
f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立つもの。
アフィン変換の定義は、
K上のアフィン空間W(線形空間を含む)上の変換fで、x,y∈W,a,b∈Kについてa+b=1のとき、
f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立たちかつ全単射であるもの。
よく私たちが生活している空間を3次元ユークリッド空間などと呼んだりしますが、
これはなぜでしょうか?ユークリッド空間では、回転と鏡映(対称移動)、平行移動が
定義された空間で私たちが生活している空間とは無関係な気がします・・・
私たちが生活している空間には、~空間といったような名称があるのですか?
長々と失礼しました。
質問を整理させて頂きます。以下に質問順に番号をふりました。
(1)直交変換とはなんでしょうか?
(2)線形変換の中で直交変換であるものはなんでしょうか?
(3)ユークリッド変換の定義を教えて貰えないでしょうか?
(4)ユークリッド空間と私たちが日常生活している空間は関係あるのでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ユークリッド空間とは、ユークリッド距離が定義された線形空間のことです。
距離、ノルム、内積は相互に派生しあいますから、
ユークリッド内積が定義された線形空間と言ってもよいです。
一般に、内積が定義された線形空間をヒルベルト空間と言います。
ユークリッド空間は、ヒルベルト空間の実例のひとつです。
ユークリッド変換という言い方はあまりしないように思うのですが、
おそらく合同変換のことを意図しているのでしょう。
合同変換とは、変換の前後で二点間の距離が変わらない変換のことです。
合同変換でかつ線形変換でもあるものを、直交変換と呼びます。
直交変換+平行移動 というのは、直交変換U平行移動 ということではなく、
直交変換して更に平行移動もする という意味です。
もちろん、その直交変換または平行移動が無変換(恒等写像)なものも含みます。
平行移動だけまたは直交変換だけであってもよい ということです。
上記の定義から解かるように、ある変換が合同変換か否かを判定するためには、
定義域である線形空間が単なる線形空間ではダメで、距離が定義されていないと
(ヒルベルト空間でないと)いけません。ユークリッド空間であれば ok です。
ユークリッド空間上には、合同変換でないアフィン変換(線形変換+平行移動)を
定義することもできます。
以上を踏まえて、
(1) 二点間の距離を変えない線形変換 (他の言い方もあり)
(2) やまほどある
(3) 前述
(4) は、数学ではなく、物理学の話題です。
ユークリッド幾何にせよ非ユークリッド幾何にせよ、数学モデルは数学モデルでしかなく、
私たちが日常生活している空間そのものではありません。
古典的には、デカルト・ニュートン以来、現実の空間を三次元ユークリッド空間で近似する
ことが標準的に行われてきましたが、
アインシュタイン以降は、時空を四次元非線型空間で近似することも行われています。
近年は、もっと別の数学モデルもいろいろ提案されています。
いづれにせよ、どれが正しいかということではなく、どれで近似するか
という違いに過ぎません。現実は現実、数学は数学です。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
線形変換の中で直交変換であるものは、拡大・縮小と剪断を除いた回転、鏡映だと認識していたのですがやまほどあるとはどのような意味なのでしょうか?
直交変換とは、回転、鏡映だと認識しているのですが間違いでしょうか?
そうすると等長変換と直交変換がなにが違うのかよくわかりません・・・
また直交行列と直交変換は関係があるのでしょうか?
追加質問で恐縮ですが、ユークリッド空間にも原点は存在するのでしょうか?
線形変換とアフィン変換を対比した場合、スカラー倍の相似中心となる原点
が存在する点が大きな違いかと思いますがユークリッド空間もアフィン空間同様絶対的な原点はないと考えてよいでしょうか?
以上、追加質問まで申し訳ないのですが何卒ご回答よろしくお願い致します。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
在宅ワークのリアルをインタビュー
ベテラン在宅ワーカーと 在宅ビギナーの方々に、在宅ワークの実情をお教えいただきました。
-
線形変換 ユークリッド変換
数学
-
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
log(1-x^2) のn階導関数
数学
-
4
ベクトルの和の交換法則、結合法則の証明が理解出来ません。画像の証明では図を用いていますがこれが全ての
数学
-
5
3辺の比率が3:4:5である直角三角形のそれぞれの角度は?
数学
-
6
y=x^(1/x) の 微分
数学
-
7
cos(2/5)πの値は?
数学
-
8
合同変換 3つの鏡映の合成で得られる…?
数学
-
9
最小多項式の求めかたを教えてください
数学
-
10
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
11
ハッセ図の書き方が全然わかりません。 ぐぐっても意味が分かりません。 これを例題として、考え方を教え
大学・短大
関連するQ&A
- 1 アフィン空間 ユークリッド空間 ベクトル空間
- 2 n次元ユークリッド空間R^nはハウスドルフ空間であることを示して頂けませんか?
- 3 ユークリッド空間と距離空間の違いについて
- 4 有限距離空間のユークリッド空間への等長埋め込みは可能?
- 5 アフィン空間 ユークリッド空間
- 6 内積空間 内積空間でないベクトル空間などあるのですか。 物理の本に以下を満たす量が定義できているベク
- 7 フーリエ変換:実空間と逆空間の対応について
- 8 縮小写像ユークリッド距離空間(R^n,d)において、有界部分集合は全有界になるという証明を教えてくだ
- 9 線形代数の部分空間(行空間、列空間、零空間)がわかりません。
- 10 数学。ユークリッドの互除法についての問題です。 ユークリッドの互除法の原理に、 <r=0のとき、aと
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
人気Q&Aランキング
-
4
偏微分の記号をタイプするため...
-
5
16進小数0.Cを10進数小数に変換...
-
6
対数変換する意味?
-
7
1.6dLは、何L何dLですか? 問題...
-
8
平行の記号
-
9
10進数の50を2進数で表すといく...
-
10
「じじょう」が正しい読み方?
-
11
マイナスの進数変換
-
12
dBm/HzからdBm/MHzへの単位変換
-
13
単位の変換(立方メートルをc...
-
14
2進数の1010は、10進数ではいく...
-
15
二進数の循環小数を十進数に変...
-
16
デシベルから加速度の変換について
-
17
HEX2BIN関数の使い方。
-
18
dBm→dBμV/mの換算について
-
19
8進数から2進数に変換の
-
20
8進数から16進数 16進数から8進数
おすすめ情報