地表付近の重力加速度について質問です。

地表付近の重力加速度の大きさは
g=GM／r^2＝9.8ms^－2であることを示してくれませんか。

Mは地球の質量、ｒは地球の半径とします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kagakusuki 回答日時： 2011/10/26 06:23

　地球表面における重力とは、地球の引力と、地球の自転による遠心力が合わさったものですから、Gと質量と半径を調べて代入しただけでは、求める事は出来ません。

　赤道に近い場所ほど、回転半径も大きくなりますから、遠心力もまた、赤道に近いほど大きくなり、その結果、赤道に近い程、重力は弱くなります。
　そのため問題となるのが、どの場所における重力の値を、地表の重力の代表的な値とするかという事です。
　現在使われている標準重力加速度の値である9.80619920m/s^2は、1901年に開かれた第3回国際度量衡総会において、北緯45°の平均海面高さにおける値として採用されたものです。

【参考URL】
　CiNii - NII論文情報ナビゲータ > 論文検索 > 「標準重力加速度はどのようにして決まったか」で検索 > 標準重力加速度はどのようにして決まったか
　　http://ci.nii.ac.jp/els/110003968069.pdf?id=ART0 …

　そこで、北緯45度における重力の値を計算してみる事にします。
　地球の形は完全な球形ではなく、地球の中心から北極点までの距離よりも、地球の中心から赤道までの距離の方が少し長い、回転楕円体になっています。
　私の手元にある理科年表[平成２１年度版]の565ページに掲載されている情報に拠りますと、地球の形と大きさは、
赤道半径が6378137mで、回転楕円体とた場合の扁平率が298.257222101分の1
ということです。
　従って赤道半径の値をa、極半径の値をb、扁平率をfとして計算しますと、

f＝1－b/a
b＝a×(1－f)＝6378137[m]×(1－1/298.257222101)≒6356752[m]

となります。
　楕円形を表す公式は、

x^2/a^2＋y^2/b^2＝1　　（x：自転軸からの距離,y：赤道面からの距離）

であり、緯度45°においては、xとyの値は等しくなりますから、
1＝x^2/a^2＋y^2/b^2＝x^2/a^2＋x^2/b^2＝x^2×(a^-2＋b^-2)
x^2＝1/(a^-2＋b^-2)
x＝√(1/(a^-2＋b^-2))
＝√(1/((6378137[m])^-2＋(6356752[m])^-2))
≒4502444[m]
となり、北緯45度の海面における、地球の自転による回転半径は、4502444mである事が判ります。
　従って、地球の自転による遠心力の強さは、

遠心力による加速度＝x×ω^2
＝x×(2π/T)^2
＝4502444[m]×(2π/(24×60×60))^2
≒0.02381116[m/s^2]

になります。
　但し、遠心力の向きは、自転軸に対して、垂直の方向に、外向きに働きますから、北緯45度の地点においては、遠心力は、南に向かって、水平面に対して角度45度の斜め上方向に働く事になります。
　一方、地球の中心から北緯45度の海面までの距離rは、三平方の定理から、

r＝√(x^2＋y^2)
＝√(1/(a^-2＋b^-2)＋1/(a^-2＋b^-2))
＝√(2/(a^-2＋b^-2))＝√(2/((6378137[m])^-2＋(6356752[m])^-2))
≒6367418[m]

になります。
　同じく理科年表[平成２１年度版]に掲載されている情報に拠りますと、地球の質量Mは5.974×10^24kg、万有引力定数Gの値は6.67429×10^-11N・m^2/kg^2であり、地球の質量と万有引力定数の積である地心引力定数の値は3.9860044×10^14m^3/s^2ですから、北緯45度の海面における、地球の引力の強さは、

地球の引力の強さ＝G×M/r^2
＝6.67429×10^-11[N・m^2/kg^2]×5.974×10^24[kg]/(6367418[m])^2
≒9.834[m/s^2]

になります。
　尚、北緯45度の海面における、地球の引力の強さを、質量と万有引力定数から求めるのではなく、地心引力定数から求めた場合には、9.831302m/s^2になります。
　この引力と、斜め上向きに働く遠心力が、組み合わさったものが重力加速度gなのですから、その値は

g＝√((9.834[m/s^2]－0.02381116[m/s^2]×sin45°)^2＋(0.02381116[m/s^2]×cos45°)^2)

≒9.817[m/s^2]

になります。

No.5 回答者： cozycube1 回答日時： 2011/10/26 14:21

P.S.

　物体が球対称で密度が一定（もう少し条件緩和できるが省略する）のとき、物体の外から受ける重力波、物体の中心に物体の質量が全て集まったとしたときの重力に等しい。
　地球は、この条件を満たすと考えてよい。従って、地表より上では、地球の全質量が、地球の球としての中心に集まったものと考えて、その重力加速度を計算してよい。

No.4 回答者： cozycube1 回答日時： 2011/10/26 14:16

　ニュートンの万有引力の式：F = GMm/r^2

　（G：重力定数、M,m：ある二つの物体の質量、r：物体間の距離）
　ニュートンの第一法則式：F = ma
　（a：物体の加速度）
∴ma = GMm/r^2　　∴a = GM/r^2

　rを地球の半径、Mを地球の重力とするとき、特別にaをgと書き、重力加速度と呼び、地表での重力とすることが多い。
　G, M, rは定数であり、地表では物体の質量に関わらず、その重力加速度は一定で、各定数に実際の値を代入すると、

g = GM/r^2 ≒ 9.8m/sec^2

となる。

以上

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/10/26 12:41

地球が球形で自転していないという仮定の下では

g=GM／r^2 であることはガウスの発散定理から
明らかです。つまり、地球の全質量が地球の
中心に集中しているとして計算して問題
ありません。

本当の地球では重力は残念ながら質量と半径
だけでは求まりません。予想に反して
回転楕円体の表面重力は厳密には非常に複雑な関数になります。
#関数形が複雑ということではなく、式が複雑ということです。

詳しくは「測地学テキスト」
http://www.geod.jpn.org/web-text/top/mokuji.html
の
http://www.geod.jpn.org/web-text/part4/4-5/4-5-8 …
あたりを見てください。

No.1 回答者： notnot 回答日時： 2011/10/26 02:27

示すと言っても、Gと質量と半径を調べて代入するだけですよね。

G は、http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86% …
質量と半径は、http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83

そうじゃなくて、ニュートンの引力の公式を知らないと言うことでしょうか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89% …