漸化式（隣接2項間）・a_n+1=pa_n+q

漸化式（隣接2項間）の問題・a_n+1=pa_n+q

隣接2項間の漸化式の問題で
例）α＝－1より、a_(n+1)+1=3(a_n+1)
これがなぜ「数列（a_n+1）が、初項a_1+1=2,公比３の等比数列であることを表している」のでしょうか？
どなたかわかりやすくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： biizu 回答日時： 2011/11/02 00:04

公比

右辺（a_n+1）を3倍したら左辺になる、というのはOKですよね。
左辺は右辺の次の項をあらわしているんです。
数列で第n項の次の項を第n+1項っておくでしょ？
だから漸化式において、(a_n+1)の3倍は3（a_n+1 + 1）なんです。


初項

適当に、n=99とすると、この漸化式は第100項と第99項の関係をあらわしていることになります。
次にn=98とすると、この漸化式は第99項と第98項の関係をあらわしていることになります。
このようにnを繰り下げていくと、最終的にはn=1となり、第2項と第1項の関係をあらわしていることになりますよね。
そしてこのときの右辺が、初項です。
だから初項はa_1 + 1なんです。

と、ここまで書いて思ったんですが、もとのa_n=・・・っていう式が与えられてないので、ここから先は進めません。

でもまあ、a_n=・・・の初項が1だとしますね。そうするとa_1 + 1= 1+1=2となり、ご質問の初項は2になるんです。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2011/11/02 02:27

問題をしっかり把握してください。

このままでは支離滅裂です。

a_n+1=pa_n+q　　　　(1)

漸化式があった場合極限値があったとするとそれは

lim(n→∞)a_n+1=lim(n→∞)a_n=α

を考えるのが定石です。

この時(1)は

α=pα+q

故に

α=q/(1-p)

(1)からa_n+1-αを作ると

a_n+1-α=p(a_n-α)

(ちゃんと確認すること)

これから

b_n=a_n-α

で数列b_nを定義すると

b_n+1=pb_n

つまり数列b_nは公比pの等比数列になっているというのが趣旨です。


α＝－1とか公比３とかの数字は例として考えているのでしょうが

一般論(1)と例をよく区別して考えてください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/11/01 23:34

b_n = a_n + 1 と置き換えてみたら?