高校教科書、一見おかしな定義・定理の意味

高校の話題

定義
P(A)>0 のとき
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)
を条件付き確率という.

乗法定理
定義式の分母を払った等式
P(A∩B) = P(A)P(B|A)
を乗法定理と言う.

定義
∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a) ただし、F'(x)=f(x)

微分積分学の基本定理
(d/dx)∫[x,a]f(t)dt=f(x)

この一見おかしく思える定義、定理について、その意味をどうか詳しく教えてください。

No.3 回答者： tmpname 回答日時： 2011/11/06 00:59

条件付き確率には「P(A)>0 のとき」という条件がついていることに注意しましょう。

P(A)=0のときP(B|A)をどう定義するの？と思うかもしれませんが、実際には
P(A)=0というのがAが全く起こらないことを必ずしも意味しないこともあって、
P(A)=0でもP(B|A)が定義出来る状況はあり得る。
その上で乗法定理を見たとき、実は乗法定理に「P(A)>0のとき」という条件が
ないことに注目しましょう。

No.2 回答者： graphaffine 回答日時： 2011/11/05 16:47

>高校教科書、一見おかしな定義・定理の意味

高校レベルでは厳密性に欠ける部分があるので、このタイトルからは、その辺の話かなと思ったがどうやら違うようですね。

ご提示の表現は、本当にその定理や定義をきちんと述べたものですか。勝手な省略や変更は駄目ですよ。
例えば、微分積分学の基本定理と称しているものはfに関する条件が足りないのでこのままでは間違いです。

>定義
>∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a) ただし、F'(x)=f(x)
これは、何を定義してるの。定積分の心算かな。普通はこれは定理として証明すべきこと(勿論、定積分の定義をした後で。それに、ここもfの条件が足りない)だと思っていたが、今の高校数学では定義として取り扱うのが普通なのかな。
そういう流儀もあるかもしれないが。

この回答へのお礼

定義の式を単に変形しただけのものを、なぜ定理と呼ぶのか、ということです。

微分積分学の基本定理
の事情は、高校と違って大学では定積分の定義をリーマン積分で行うためだと思います。

しかし、確率の乗法定理は同じ事情ではないと思われます。

定義と定理は、どちらがどちらと決まっているというものではなく、一方を定義とすれば他方は定理になるというものだと思いますが、
確率の乗法定理はどういった事情があるのかご存知であれば教えてください。

お礼日時：2011/11/05 22:45

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/05 14:18

どこも間違っていないようだけれど、

どこが一見おかしく思えるの？

この回答へのお礼

定義の式を単に変形しただけのものを、なぜ定理と呼ぶのか、ということです。

微分積分学の基本定理
の事情は、高校と違って大学では定積分の定義をリーマン積分で行うためだと思います。

しかし、確率の乗法定理は同じ事情ではないと思われます。

定義と定理は、どちらがどちらと決まっているというものではなく、一方を定義とすれば他方は定理になるというものだと思いますが、
確率の乗法定理はどういった事情があるのかご存知であれば教えてください。

お礼日時：2011/11/05 22:44