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マクローリン展開の問題なのですが、以下の問題で何回解いても模範回答と同じ答えになりません。
どなたか途中式を含めて解説お願いできないでしょうか。


y=tanxのマクローリン展開をx^5の項まで求めよ
(剰余項は考えなくて良い)

という問題です
よろしくお願いします

A 回答 (4件)

こんにちは。



できれば質問者様が解いた過程を乗せて頂けると、
どこでハマっているのか指摘しやすかったかもしれません。

単純に x の5次の項まで展開せよとのことなので、
微分計算がなかなか合わないだけですかね。

  dy/dx = d/dx(tan(x)) = 1/cos2(x) = tan2(x) + 1

  d2y/dx2 = 2 tan(x)(dy/dx) = 2 tan3(x) + 2 tan(x)

  d3y/dx3 = 6 tan2(x)(dy/dx) + 2 (dy/dx) = 6 tan4(x) + 8 tan2(x) + 2

  d4y/dx4 = 24 tan3(x)(dy/dx) + 16 tan(x)(dy/dx)
       = 24 tan5(x) + 40 tan3(x) + 16 tan(x)

  d5y/dx5 = 120 tan4(x)(dy/dx) + 120 tan2(x)(dy/dx) + 16 (dy/dx)
       = 120 tan6(x) + 240 tan4(x) + 136 tan2(x) + 16

微分はこんな感じになるはずです(多分)。
(tan(x) のn乗) × (tan(x) の微分) の形で全ての項を表すと少し楽です。
それぞれの 0 近傍での値は定数項の値となりますから、

  y(0) = d2y/dx4(0) = d4y/dx4(0) = 0
  dy/dx(0) = 1, d3y/dx3(0) = 2, d5y/dx5(0) = 16

よって、

  y(x) = dy/dx(0) x + (1/3!) d3y/dx3(0) x3 + (1/5!) d5y/dx5(0) x5
     = x + (1/3) x3 + (2/15) x5

となります。
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この回答へのお礼

迅速な回答ありがとうございます。

3回微分のところではまっていました。

詳しい回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/11/21 16:34

y ' =1+y^2


y=a1x+a3x^3+a5x^5+・・ と 置くと
a1+3a3x^2+5a5x^4+・・=1+(a1x+a3x^3+・・)(a1x+a3x^3+・・)
a1+3a3x^2+5a5x^4+・・=1+a1a1x^2+(a1a3+a3a1)x^4+・・
a1=1
3a3=a1a1
5a5=a1a3+a3a1

 
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この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/11/21 16:34

根気良くtanxのn回微分(n=1,2,3,4,5)をしてx=0とおいて


マクローリン展開の公式に代入すれば良いでしょう。

tanxのn回微分公式については
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
を参照下さい。

5階微分までですから地道に計算すれば良いでしょう。

f(x)=tan(x)
f(0)=tan(0)=0
f'(x)=1+tan^2(x)
f'(0)=1
f''(x)=2tan(x){1+tan^2(x)}
f''(0)=0
f'''(x)=2{1+tan^2(x)}^2+4tan^2(x){1+tan^2(x)}
=6tan^4(x)+8tan^2(x)+2
f'''(0)=2
f''''(x)=8{3tan^3(x)+2tan(x)}{1+tan^2(x)}
=8{3tan^5(x)+5tan^3(x)+2tan(x)}
f''''(0)=0
f'''''(x)=8{15tan^4(x)+15tan^2(x)+2}{1+tan^2(x)}
f'''''(0)=16

従って
f(x)=x+(2/3!)x^3 +(16/5!)x^5 +...
=x +(1/3)x^3 +(2/15)x^5) +...
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この回答へのお礼

やはり地道な微分ですか......

回答ありがとうございます

お礼日時:2011/11/21 16:35

求めたいものは,


f(x)=f(0)+{f’(0)x}/1! +{f’’(0)x^2}/2! +{f’’’(0)x^3}/3!
+{f’’’’(0)x^4}/4! +{f’’’’’(0)x^5}/5!
これですよね.

====================================================

f(θ)=tanθとする.



f(θ)=tanθ
f(0)=0
f’(θ)=1/(cosθ)^2
f’(0)=1

f''(θ)={0*(cosθ)^2-1*2*cosθ(-sinθ)}/(cosθ)^4
=ーsin2θ/(cosθ)^4
f''(0)=0

f ''' (θ)={-2cos2θ(cosθ)^4+sin2θ*4(cosθ)^3(-sinθ) }/(cosθ)^8
f ''' (0)={-2*1+0 }/1=-2
あとは,自分でやってください.
何も力は付きませんよ.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

計算たところ、模範解答と同じ答えを出せました。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/11/21 16:36

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Aベストアンサー

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
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1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
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「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
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適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

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>またテイラー展開自体をうまく理解する、分かりやすく解説している良いサイトはありませんか?

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一言で言ってしまうと、関数f(x)をxの多項式で近似することを考えたものです。


http://yukai.jp/~rwf/note/math/taylor/taylor.html

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B

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まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
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また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)


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