No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
できれば質問者様が解いた過程を乗せて頂けると、
どこでハマっているのか指摘しやすかったかもしれません。
単純に x の5次の項まで展開せよとのことなので、
微分計算がなかなか合わないだけですかね。
dy/dx = d/dx(tan(x)) = 1/cos2(x) = tan2(x) + 1
d2y/dx2 = 2 tan(x)(dy/dx) = 2 tan3(x) + 2 tan(x)
d3y/dx3 = 6 tan2(x)(dy/dx) + 2 (dy/dx) = 6 tan4(x) + 8 tan2(x) + 2
d4y/dx4 = 24 tan3(x)(dy/dx) + 16 tan(x)(dy/dx)
= 24 tan5(x) + 40 tan3(x) + 16 tan(x)
d5y/dx5 = 120 tan4(x)(dy/dx) + 120 tan2(x)(dy/dx) + 16 (dy/dx)
= 120 tan6(x) + 240 tan4(x) + 136 tan2(x) + 16
微分はこんな感じになるはずです(多分)。
(tan(x) のn乗) × (tan(x) の微分) の形で全ての項を表すと少し楽です。
それぞれの 0 近傍での値は定数項の値となりますから、
y(0) = d2y/dx4(0) = d4y/dx4(0) = 0
dy/dx(0) = 1, d3y/dx3(0) = 2, d5y/dx5(0) = 16
よって、
y(x) = dy/dx(0) x + (1/3!) d3y/dx3(0) x3 + (1/5!) d5y/dx5(0) x5
= x + (1/3) x3 + (2/15) x5
となります。
No.4
- 回答日時:
y ' =1+y^2
y=a1x+a3x^3+a5x^5+・・ と 置くと
a1+3a3x^2+5a5x^4+・・=1+(a1x+a3x^3+・・)(a1x+a3x^3+・・)
a1+3a3x^2+5a5x^4+・・=1+a1a1x^2+(a1a3+a3a1)x^4+・・
a1=1
3a3=a1a1
5a5=a1a3+a3a1
No.2
- 回答日時:
根気良くtanxのn回微分(n=1,2,3,4,5)をしてx=0とおいて
マクローリン展開の公式に代入すれば良いでしょう。
tanxのn回微分公式については
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
を参照下さい。
5階微分までですから地道に計算すれば良いでしょう。
f(x)=tan(x)
f(0)=tan(0)=0
f'(x)=1+tan^2(x)
f'(0)=1
f''(x)=2tan(x){1+tan^2(x)}
f''(0)=0
f'''(x)=2{1+tan^2(x)}^2+4tan^2(x){1+tan^2(x)}
=6tan^4(x)+8tan^2(x)+2
f'''(0)=2
f''''(x)=8{3tan^3(x)+2tan(x)}{1+tan^2(x)}
=8{3tan^5(x)+5tan^3(x)+2tan(x)}
f''''(0)=0
f'''''(x)=8{15tan^4(x)+15tan^2(x)+2}{1+tan^2(x)}
f'''''(0)=16
従って
f(x)=x+(2/3!)x^3 +(16/5!)x^5 +...
=x +(1/3)x^3 +(2/15)x^5) +...
No.1
- 回答日時:
求めたいものは,
f(x)=f(0)+{f’(0)x}/1! +{f’’(0)x^2}/2! +{f’’’(0)x^3}/3!
+{f’’’’(0)x^4}/4! +{f’’’’’(0)x^5}/5!
これですよね.
====================================================
f(θ)=tanθとする.
f(θ)=tanθ
f(0)=0
f’(θ)=1/(cosθ)^2
f’(0)=1
f''(θ)={0*(cosθ)^2-1*2*cosθ(-sinθ)}/(cosθ)^4
=ーsin2θ/(cosθ)^4
f''(0)=0
f ''' (θ)={-2cos2θ(cosθ)^4+sin2θ*4(cosθ)^3(-sinθ) }/(cosθ)^8
f ''' (0)={-2*1+0 }/1=-2
あとは,自分でやってください.
何も力は付きませんよ.
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