複数滑車の問題： どうかお教え下さい

添付の図をご覧下さい。与えられている条件は、
・物体Aの速度Va = 3t 　(tは時間）
・t = 0のとき、物体A、物体Bの速度は同じ Va = Vb
だけでして、物体A、Bの重さも与えられておらず、混乱してしまいました。

問題は
i) 時間t = 5の際の、Vb
ii) 物体Bがもつ物体Aに対する相対加速度
iii) 時間t=5の際の、物体Aと物体Bの距離（どれだけ離れているか）
です。

Aには張力Tが一つ、Bには等しい張力Tが二つかかっているかと思います。
Va = 3tなので、Aの加速度Aaは3 [m/sec^2]

運動方程式を立ててみます。AとBの質量をそれぞれ、Ma, Mbとし,
Bの加速度をAbとます。

Aについて
(1) 3Ma = Ma　x　g 　-　T

Bについて
(2)Mb 　x 　Ab = Mb 　-　2T


ここで思考がストップしてしまいました・・・。

【質問１】おそらく、Aの変位とBの変位には何らかの関係（Aが１下がると、Bはその半分下がる、など）があるかと思いますが、それを見出せずにおります。これを導き出す方法、解答をお教え頂けないでしょうか。

【質問2】そもそも、Aが下降する際、Bは下降するのでしょうか。



以上、分かりづらい点が御座いましたら、補足致しますゆえ、どうかお助け下さい。
宜しくお願い致します。

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/11/20 20:39

時間微分を「'」で表します。

図のように置きます。
y = x + z
∴z = y - x
∴z' = y' - x' …(i)
2x + y + 2z + w = 一定
∴2x' + y' + 2z' + w' = 0
(i)を代入して
∴3y' + w' = 0
Va = y' + w'
Vb = y'
∴2Vb + Va = 0
∴Va = -2Vb
∴Aa = -2Ab
これですべていけると思います。

t=0のとき，Va=Vb=0ですね。

この回答へのお礼

いつもありがとう御座います。もやもやと悩んでいた頭がすっきり解消されました。物理や数学をやっていると本当にこういう体験が多いですね。こういった滑車の問題はイメージがつきにくく、頭の中で沢山の滑車を動かしています。解き方のコツとしては、各滑車の位置を適当な文字で示して、どれが一定であるかを見出す、ということでしょうか。他の問題が出ても対処できるようにしたく、何かアドバイス頂ければ幸いです。宜しくお願いします。

yokkun831様にはいつもお世話になっております。授業料をお支払いしたいくらいです。
「教えてgoo」などで募金や課金システムができないかと思ってしまいます。

言葉のお礼しかできず恐縮ですが、どうぞ今後とも宜しくお願い致します。

お礼日時：2011/11/21 12:04

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/11/20 20:47

Algodooシミュレーション動画を添付します。

この回答へのお礼

ありがとう御座います。
とても分かり易くご説明頂きいつもありがとう御座います。

お礼日時：2011/11/21 12:31

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/11/21 09:37

滑車の壁からの距離と糸の長さを考えましょう。

右上の滑車の壁からの距離をd1,
左上の滑車の壁からの距離をd2,
左下の滑車の壁からの距離をd3,
右下の滑車の壁からの距離をd4,
物体Aの壁からの距離をd5
とします。

滑車の半径はここでは"0"としてしまいましょう。

糸の長さはLは
L=d1+(d1-d2)+(d3-d2)+(d3-d4)+(d5-d4)=2*d1-2*d2+2*d3-2*d4+d5
となります。

ここで条件として
L,d2,d4-d1の大きさは一定。
が加わります。

d4-d1=c とおくと、d1=d4-c　となり、これをLの式に入れると

L=2*(d4-c)-2*d2+2*d3-2*d4+d5
L+2*d2+2*c=2*d3+d5

左辺は時間によらず一定となります。

このことから、d5が1大きくなるとd3は1/2小さくなることが分かります。

また、物体Bは左下の滑車から一定距離離れているため、左下の滑車の上下動に連動して動くことになります。(もちろん、滑車と物体Bをつなぐ糸の張力が大きさを持っているときに限りますが)

Aが下降すると(d5が大きくなると)、左下の滑車は上昇し(d3が減少する)、物体Bは上昇します。

この回答へのお礼

とても分かり易くご説明頂きありがとう御座います。頭がすっきりしました。

『d5が1大きくなるとd3は1/2小さくなることが分かります。』

これを導き出すプロセスをお教え頂きありがとう御座います。

すると、これは張力、質量云々に関する問題ではないということでしょうか？
滑車の仕組み（Aが動くときにBはどれほど動くか）に問題の要素が集約されていますね。

『d5が1大きくなるとd3は1/2小さくなることが分かります。』が分かれば、他の答えはスイスイ出ますね。これは驚きです。模範解答がなく、確認していただけると助かります。

i) Aの速度が3tですので、Bは 1.5*tで向きは上向き
よって、t=5のとき、7.5 m/sec

ii)Aの加速度は3、Bは1.5、向きは互いに逆なので、相対化速度は4.5m/s^2

iii) 相対加速度が4.5であるため、距離 = 1/2at^2 であることから、56.25m



交通事故で鞭打ちの治療中とのことですが、そのような中でご解答頂きありがとう御座います。どうかお大事にお過ごし下さい。

お礼日時：2011/11/21 12:41

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2011/11/21 13:09

＞物体A、物体Bの速度は同じ Va = Vb

これは正しいですか？

　速さはスカラー量で大きさしかありませんが、速度は方向を持つベクトル量です。

「物体A、物体Bの速度は同じ Va = Vb」ということは、ひとつの物体とみなせますが、そうなると停止していることになります。

この回答へのお礼

t = 0 のときに速度が同じということでして、これはt=0のときにともに速度がゼロということを示しているだけと考えております。ありがとう御座います。

お礼日時：2011/11/30 12:55

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/11/21 15:22

#3のものです。

お礼の欄にある質問者の回答について.

i) Aの速度が3tですので、Bは 1.5*tで向きは上向き
よって、t=5のとき、7.5 m/sec

どの方向が正であるか定義されていないので向きはわからない。
ただ、この問題では速度の正負は間接的に定義されており、物体Aはt>0で正の速度を持っていることがわかる。もちろん、物体Bの速度の向きは物体Aと逆向きであるのでt>0において物体Bの速度は負である。
t=5の時、Vb=-7.5m/s

ii)Aの加速度は3、Bは1.5、向きは互いに逆なので、相対化速度は4.5m/s^2

これも、物体Aに対する相対加速度なので
-1.5m/s^2-3m/s^2=-4.5m/s^2
となる。

iii) 相対加速度が4.5であるため、距離 = 1/2at^2 であることから、56.25m

t=0における2物体間の距離が記載されていませんが、仮にt=0で同じ高さにあるとすると上記の計算で問題ないでしょう。

この回答へのお礼

お礼が遅れまして申し訳ありません。
解答いただきましてありがとう御座いました。

お礼日時：2011/11/30 12:54