No.5ベストアンサー
- 回答日時:
αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0
そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。
∥・∥はノルムの次の要件を満たす。
αが複素数でx,y∈Hについて
(1)x≠0⇒0<∥x∥
(2)∥0∥=0
(3)∥α・x∥=|α|・∥x∥
(4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥
0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*)
すなわち
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は(*)式の右辺が0すなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき
従って
sup{|<x,y>| |0≦∥y∥≦1,x,y∈H}
=∥x∥・∥1∥=∥x∥
なおこの式はHがヒルベルト空間でなくても成立する。
内積の性質だけを使って導いたから当然でしょう。
内積が定義された集合であれば何でも良い。
No.4
- 回答日時:
釈迦に説法ですが内積の成立要件は
x,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0
そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は()内が0のときすなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき
従って
sup{|<x,y>| |0<∥y∥≦1,x,y∈H}=∥x∥・∥1∥
No.3
- 回答日時:
ちょっと別解。
実は左辺はmaxになるので、<x,y>≦||x||||y||≦||x||
とy=x/||x||と置くと<x,y>=||x||^2/||x||=||x||となることからわかります。
x=0のときは別にする必要がありますが、そのときは明らかです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外積、内積に使われる記号の読...
-
数学の問題です 四面体OABCにお...
-
問) 四面体OABCの辺OAを1:2に内...
-
3次元空間内での線分の交差判...
-
台形 ベクトルの問題
-
図形
-
【ベクトルの問題です】
-
高校数学Bのベクトルの問題です...
-
oを中心とする半径1の球面上...
-
閉曲線の凹みの判定法
-
高2 数学
-
正四面体について垂線と中線が...
-
一次元(点、線)は2点、二次...
-
内積空間 内積空間でないベクト...
-
高校数学 空間ベクトルでの垂線...
-
空間のベクトル、平面上の条件
-
なぜ内積の演算は整式の展開と...
-
対辺が互いに垂直な四面体
-
三角形ABCにおいて辺BC CA AB...
-
外積マークの×は何て読んでます...
おすすめ情報