三角形の垂心の証明

初めまして。これからここでよくお世話になると思います。よろしくお願い致します。
さて、「三角形ＡＢＣにおいて3つの頂点からそれぞれの対辺に下ろした垂線は1点Ｈで交わるということを証明せよ」という問題なのですが、行き詰まりました。
Ａからの垂線とＢからの垂線の交点をＨとして、ＣＨとＣからの垂線が一直線上にあることを示せば良いのかな？と思うのですがその示し方が分かりません。どのように証明すればよいのでしょうか？

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2004/07/18 16:34

いろいろ証明法はあるようですが、一例のヒントです。

三角形の外接円を描くとき、どうしますか？ その時、どこかから垂線を引きますよね。そのどこかというのが点Aや点Bになるような三角形を考えてみてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
そして申し訳ありません。ベクトルを使った証明法を求めていました。
完全に私の言葉足らずでしたね。以後気を付けたいと思います。
それにしてもとてもたくさんの証明法があるんですね。勉強になりました。本当にありがとうございました。

お礼日時：2004/07/18 17:03

No.2 回答者： edomin 回答日時： 2004/07/18 16:44

こちらは、参考になりますか・・・？

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/o …

参考URL：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/o …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
いろいろ検索してそこも見ましたが、ベクトル使ってないので違うな～と思っていました。
質問文にベクトルについてを書き忘れた完全な私のミスです；
申し訳ありませんでした。以後気を付けたいと思います。
回答頂き嬉しかったです。ありがとうございました！

お礼日時：2004/07/18 17:09

No.3 ベストアンサー 回答者： himajin2005_RC4 回答日時： 2004/07/18 16:48

昔習った気がするが(中学時代)、

そのやり方がどうだったか思い出せないので

#たしか、Bからの垂線とCから垂線が
Aからの垂線と交わるとき、
その点で分けた比が等しいとかやった気がする

すなおにベクトルで解くことにする
#ベクトル未修得だったらごめんなさい

>Ａからの垂線とＢからの垂線の交点をＨとして、
>ＣＨとＣからの垂線が一直線上にあることを示せば
>良いのかな？
>と思うのですがその示し方が分かりません

多分大丈夫だと思います
以下すべてベクトルで書いていると思ってください

目標は
CH・AB=0

まず
(CA+AH)・BC
=CA・BC+AH・BC
仮定より
AH・BC=0だから
(CA+AH)・BC=CA・BC　・・・・式1

また、同様に
(CB+BH)・AC=CB・AC ・・・・式2

式2-式1=
CH・(AC-BC)
=CH・AB
=CB・AC-CA・BC
=0
|CH|,|AB|ともに0でないから
CHとABは垂直に交わる

よって題意は示された

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
ベクトル学習済みです。以後質問文に気を付けますね。
そうか、内積を使って考えるんですね。大納得です！
とてもとても分かりやすい回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/07/18 17:27

No.4 回答者： angel-dust 回答日時： 2004/07/18 16:50

ベクトルを使った証明でいいんでしょうか？

証明の流れは
「AHとBCが直交」「BHとACが直交」を意味する式を使って
「CHとABも直交」することを示す。

ヒントは「位置ベクトルと内積」

もし、高校生じゃなかったら、
ごめんなさいね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
はい、ベクトルを使った証明方法を求めていました。今後気を付けますね。
証明問題はどうしても苦手でなかなか閃くことができません…。
直交する2つのベクトルの内積は0であることを使えばよかったんですね。
とても参考になりました、ありがとうございました！

お礼日時：2004/07/18 17:35