ベクトル＋三角関数

Ｏを中心とし、半径が１である円周上に3点Ａ，Ｂ，Ｃがあり
２ＯＡ↑＋３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑＝０↑・・・(＊)
を満たしている。
（ＯＡ↑・・・ＯＡベクトル）

(1)ＯＡとＢＣの交点をＰとおくとＡＯ：ＯＰは？

(＊)よりＯＡ↑＝－(３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑)／２
＝－(７／２)・(３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑)／（４＋３）
＝－(７／２)ＯＰ↑
といっていいのでしょうか？（図を見ていきなり。）
それとも
ＯＡ↑＝ｋＯＰ↑（ｋ∈Ｒ）
またＯＰ↑＝ｓＯＢ↑＋(１－ｓ)ＯＣ↑（ｓ＝１、ｓ∈Ｒ）
ＯＡ↑＝ｋｓＯＢ↑＋ｋ(１－ｓ)ＯＣ↑
ＯＡ↑＝－(３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑)／２
係数比較でｋ＝－２／７とでてＯＡ↑＝－(７／２)ＯＰ↑としなくてはいけない？
ＯＢ↑//ＯＣ↑では無いことを言わなくてはいけないかしら？（どうやるの？）

（２）ＯＢ↑・ＯＣ↑は？

∠ＢＯＣ＝θとおくと
正弦定理よりＢＣ＝２sinθ
余弦定理を△ＯＢＣにつかって
(２sinθ)^2＝１＋１－２・１・１・cosθ
⇔２cos^{2}θ－cosθ－１＝０
⇔（2cosθ＋１）（cosθ－１）＝０
∴cosθ＝-1/2、１
θ＝120°,240°,0°
0°は不適？120°,240°は条件に当てはまってる？
ここのところが少しあいまいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2003/07/01 23:37

(2)次の連立方程式を解けばOK。

（展開すれば３つの内積の連立方程式です）・・・発想の転換なのか、定石なのかは定かではありません。
OA・(2OA+3OB+4OC)=0
OB・(2OA+3OB+4OC)=0
OC・(2OA+3OB+4OC)=0

(1)でOB//OCでないことを言うのは背理法であっさりいけそうです。
OB//OCであると仮定したとき、OB=kOCとかける。このとき、OA=lOCとなり、３点A,B,C（とO）が一直線上に並び、△ABCが成立しなくなるので不適。

No.3 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/02 10:49

ONEONEさん、こんにちは。

(1)は、ちょっと難しく考えすぎじゃないでしょうか。

＞(＊)よりＯＡ↑＝－(３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑)／２
＝－(７／２)・(３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑)／（４＋３）

この変形素晴らしいですね。
ここで、
（３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑）/７というベクトルは何か考えてみましょう。
それは、線分ＢＣを４：３に内分する点の位置ベクトルです。
それが、点Ｐですから、
ＯＰ↑＝（３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑）/７
よって、
ＯＡ↑＝（－７/２）ＯＰ↑
となるので、
｜ＯＡ↑｜：｜ＯＰ↑｜＝７：２
であることが分かると思います。

＞ＯＢ↑//ＯＣ↑では無いことを言わなくてはいけないかしら？（どうやるの？）

これは、明らかです。何故って、ＯＢ↑//ＯＣ↑ならば、
始点Ｏが一致していて、なおかつ半径１の円周上に点Ｂ点Ｃがあるのですから
Ｂ＝Ｃとなってしまいます。
ゆえに、ＯＢ↑//ＯＣ↑ではないです。

そう考えるより、ＰがＢＣの内分点になっていることを使ったほうが分かりやすいと思います。

(2)は、なるべく分からない文字を増やしたくないので、
角度を使わずにやってみたいですね。
＃２さんの方針がよいようです。

ＯＡ↑・（２ＯＡ↑＋３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑）＝０
ＯＢ↑・（２ＯＡ↑＋３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑）＝０
ＯＣ↑・（２ＯＡ↑＋３ＯＢ↑＋４ＯＣ↑）＝０
ということと、
ＯＡ↑・ＯＡ↑＝ＯＢ↑・ＯＢ↑＝ＯＣ↑・ＯＣ↑＝１ですから、
２＋３ＯＡ↑・ＯＢ↑＋４ＯＡ↑・ＯＣ↑＝０
２ＯＡ↑・ＯＢ↑＋３＋４ＯＢ↑・ＯＣ↑＝０
２ＯＡ↑・ＯＣ↑＋３ＯＢ↑・ＯＣ↑＋４＝０

この３つの式から、まずＯＡ↑・ＯＣ↑を消去して、
式を２つにします。
その連立方程式を解くと、
ＯＢ↑・ＯＣ↑＝-7/8
となりました。

内積のままだと、ややこしいので、
ＯＡ↑・ＯＢ↑＝ｘ
ＯＢ↑・ＯＣ↑＝ｙ
ＯＣ↑・ＯＡ↑＝ｚ
とかおいてみて、最終的にｙを求めればいいですね。
頑張ってください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
いつもいつも、すみません。

お礼日時：2003/07/02 23:20

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2003/07/01 23:31

(1)ks=-3/2, k(1-s)=-2の連立方程式を立てて解けばよいのではないでしょうか？（「係数比較」がなにを差しているかわかりませんが、それとも・・・以下の方式をとるなら、解が唯一に決まることを明示的に書いてあげたほうがよいかも）

ただ、いきなり言ってもよいかもしれませんが。（ここは自信なし。ただし、論拠に隙があるとは余り思えません。）

(2)BC=2sin(θ/2)じゃないですか？
そして、余弦定理を使うと2(sin(θ/2))^2=1-cosθという恒等式が出るにすぎません。
Aのことをなにも考えずに問題が解けるとは思いませんが・・・

この回答へのお礼

ああ、正弦定理を変な風に使っていました。
なるほどなるほど。
係数比較したのを連立してとかくとこを係数比較としか書かなかったのですみません。
OB・OC＝-7/8になりました？

お礼日時：2003/07/02 00:05