No.2ベストアンサー
- 回答日時:
対数関数 log(a)x (a は対数の底。
)を微分することを考えます。微分の定義 f'(x) = lim{d -> 0}{[f(x + d) - f(x)] / d} を用いると,
[log(a)(x + d) - log(a)(x)] / d
= log(a)([x + d] / x) / d
= log(a)(1 + d / x) / d
= log(a)[(1 + d / x) ^ (1 / d)]
= log(a)[(1 + (d / x)) ^ ((x / d) / x)]
= log(a)[[(1 + (d / x)) ^ (x / d)] ^ (1 / x)]
のようになりますが,このとき n = d / x とおくと,d -> 0 のとき n -> 0 で
= log(a)[[(1 + n) ^ (1 / n)] ^ (1 / x)]
となります。ここで e = lim{n -> 0}{(1 + n) ^ (1 / n)}(ONEONEさんの記載は誤りです)
と定義して上の式の極限を取ると
lim{d -> 0}{[log(a)(x + d) - log(a)(x)] / d}
= log(a)[e ^ (1 / x)]
= (1 / x)log(a)e
となるわけです。このときもし a = e であれば
[log(e)x]' = 1 / x
と簡単になります。
e はこのように発生しています。
また,Σ(n=0..∞)[1 / n!] の式は,指数関数 e ^ x に対してマクローリン展開の無限級数
f(x) = Σ(n=0..∞)[(x ^ n)・f(n*')(0) / n!]
(ただし,f(k*')(x) は f(x) の k 回微分を表す)を適用すると
e ^ x = Σ(n=0..∞)[(x ^ n)・(e ^ 0) / n!]
(なぜなら,(e ^ x) = (e ^ x)' = (e ^ x)'' = (e ^ x)''' = ......)で,この式に x = 1 を
代入すると
= Σ(n=0..∞)[(1 ^ n)・(e ^ 0) / n!]
= Σ(n=0..∞)[1 / n!]
が得られます。
No.6
- 回答日時:
自然法則によく出てくる微分方程式:dy/dx=y の解を
簡潔に表現するために自然に導入されたのではないでしょうか。
自然対数の底をeで表記したのはオイラーで1731年からだそうです。
たしか、ギリシャ語で自然?(自信なし)を意味する単語の
頭文字イプシロンεから採ったと思いました。
No.5
- 回答日時:
すでに的確なお答えが出ているので、蛇足になりますが。
lim(1+1/n)^n
n→∞
の意味づけに面白い例を大学の講義で聞いた事があるので紹介します。
これは1年の金利100%の預金(こんなのがあったらいいですねぇ…)が
1年後、何倍になっているかということを表しています。
金利が1年後につくとすれば(1+1)^1で2倍ですね。
金利が半年毎につくとすれば(1+0.5)^2=2.25倍、
金利が3ヶ月毎につくとすれば(1+0.25)^4=2.44倍、
金利が1ヶ月毎につくとすれば(1+0.0833..)^12=2.60倍、
...
金利が時々刻々とつくならe倍、というわけです。
No.4
- 回答日時:
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=717119
に、質問者さんの意図からずれた回答をしたのですが・・・
下記URLはいかがですか?
発想は、
(a^x)'=(a^x)lim(h→0)(a^h-1)/h
⇒lim(h→0)(a^h-1)/h=1 となるaが知りたい!
というところから来ているものだと思います。(発想として自然)
参考URL:http://www.daieidream.co.jp/html/science/e.pdf
に、質問者さんの意図からずれた回答をしたのですが・・・
下記URLはいかがですか?
発想は、
(a^x)'=(a^x)lim(h→0)(a^h-1)/h
⇒lim(h→0)(a^h-1)/h=1 となるaが知りたい!
というところから来ているものだと思います。(発想として自然)
参考URL:http://www.daieidream.co.jp/html/science/e.pdf
No.3
- 回答日時:
高校の時(3年前)、数学の先生から習ったのは、
Y=A^X(AのX乗)のグラフを書きます。
すると、必ずX=0のとき、Yは1となりますね。
○ここがポイント
そこでX=0においての接線の傾きを1とするときのAの値を自然対数eと表す。と教えてもらいました。
実際微分をすると、dY/dX=A^XlogeAという公式からX=0とするとlogeA=1となるので、A=eとなります。
でもこれじゃあA^Xの微分に自然対数が底というのが前提なので、答えとは違いますね。
まあ、おまけとして知っていてください。
No.1
- 回答日時:
そうした定数を決めておけば、指数関数の微分積分学が簡便になるからです。
下記の質問にも私が回答チャレンジしているので、
ぜひ見てください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=715616
この場に、その文章のコピーをしようとも思いましたが、余りにも長文ですので...
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=715616
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