波動関数の確率

φ(x)=Aexp(ikx)cos(3πx/L) (-L/2<x<L/2) で表される束縛された粒子がx=0とx=L/4の間で見出される確率を求めたいのですが、どのように考えればよいのでしょうか。

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2012/01/07 13:12

-L/2≦x≦L/2の範囲に粒子の有る確率は

∫φ(x) φ(x)*dx = 1　　　　積分範囲は　-L/2≦x≦L/2
ここに
φ(x)* = Aexp(-ikx)cos(3πx/L)
これより
φ(x) φ(x)*= A^2*exp(ikx-ikx)cos^2(3πx/L) = A^2*cos^2(3πx/L)
つまり
A^2 = 1/∫cos^2(3πx/L)dx　　　　積分範囲は　-L/2≦x≦L/2

3πx/L = X と置くと、dx = LdX/3π
A^2 = 3π/（Ｌ∫cos^2(X)dX）　　　　積分範囲は　-3π/2≦X≦3π/2

∫cos^2(X)dX= [X/2 + sin2X/4] [-3π/2～3π/2]
= 3π/2

A^2 = 2/L

これを使い次の積分を求める
∫φ(x) φ(x)*dx 　　　　積分範囲は　0≦x≦L/4
= (2/L) (L/3π)∫cos^2(X)dX 　　　　
=(2/3π)[X/2 + sin2X/4] [０～3π/4]
=1/4


範囲が-L/2≦x≦L/2からその1/4になった0≦x≦L/4では、確立は1/4。
当たり前過ぎて奇妙感じがします。
気になるのは質問文では、-L/2<x<L/2とcos(3πx/L)となっていることです。
-L/2≦x≦L/2とsin(nπx/L) n=1,2,3,・・・（境界でゼロ）の例が多いのですが。
検算とこれらの点の検討怠りなく。

No.2 ベストアンサー 回答者： koban22 回答日時： 2012/01/07 15:07

まず規格化します。

φ(x)=Aexp(ikx)cos(3πx/L)

これの共役複素関数は

φ(x)※=Aexp(-ikx)cos(3πx/L)


∫φ（x)φ(x)※dx(-L/2<x<L/2)=1

これより
　　　　　　A=1/(∫(cos(3πx/L))^2)^1/2

AはLに依存するパラメータです。

例えば　L=1の場合、A=1.414
L= 5の場合、A=0.632


0<x<π/4の間で見出される確率Pは、Lに依りません。

　　P=∫φ（x)φ(x)※dx(0<x<L/4)

P=0.197

　　　　

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。とてもスッキリしました。

お礼日時：2012/01/08 21:44

No.3 回答者： drmuraberg 回答日時： 2012/01/07 16:02

No.2の指摘のように計算ミスが有りました。

(2/3π)[X/2 + sin2X/4] [0～3π/4]
=0.196
です。

この回答へのお礼

再投稿ありがとうございました。わかりやすい回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/08 21:45