二重のルート計算について

数学にブランクがあり、アドバイスができません…

写真の式について、途中計算及び、解答を御回答、頂ければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： tirasinouranext 回答日時： 2012/01/07 23:51

まず、原点に戻って√…が外れるのは(…)^2になるときです。

したがって16+8√3=(…)^2となるように変形すればいいわけです。

すると√3と言う無理数があるのでもし2乗の形になるなら
16+8√3=(a+b√3)^2(a,b:有理数)
となります。

すると
(a+b√3)^2=a^2+3b^2+2ab√3
となるのでこれと16+8√3とを比較すると
a^2+3b^2=16
2ab=8∴ab=4
が成り立ちます。

するとb=4/aとなるので
a^2+3b^2=a^2+48/a^2=16
∴a^4-16a^2+48=(a^2-12)(a^2-4)=0
∴a^2=12,4
∴a=±2√3,±2
となります。

するとaは有理数なので
a=±2
となります。

よってab=4より
(a,b)=(-2,-2),(2,2)
となります。

よって
16+8√3=(-2-2√3)^2=(2+2√3)^2
となるので
√(16+8√3)=√(2+2√3)^2=2+2√3
となります。


以上少し詳しく書きましたが慣れていれば
16+8√3=4(4+2√3)=4(1+√3)^2
となるので
√(16+8√3)=√{4(1+√3)^2}=2+2√3
となることに気付くと思います。
簡単なアドバイスならこんな感じでよろしいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

御回答、ありがとうございました～（・∀・）

お礼日時：2012/01/08 00:05

No.2 回答者： WiredLogic 回答日時： 2012/01/07 23:57

(√a ± √b)^2 = (√a)^2 ± 2√(ab) + (√b)^2 = (a+b) ± 2√(ab) なので、

√a + √b = √{(a+b) + 2√(ab)}、
√a - √b = √{(a+b) - 2√(ab)} (ただし、a≧b、右辺は全体が√の形で、～が実数なら、√～≧0というルールだから)、

つまり、√の中身を、何とか±2√かんとか、にして、足して何とか、かけてかんとかになる数の組を見つければ、上の左辺側の二重のルートでない形にできます。

ご質問のルートの中身は、16+8√3 で、2√かんとかになっていませんが、
16 + 8√3 = 4(4 + 2√3) = (2^2)(4+2√3)なので、
√(16 + 8√3) = 2√(4+2√3)、
足して4、かけて3になるのは、3,1の組なので、
√(16 + 8√3) = 2√(4+2√3) = 2(√3 + √1) = 2(√3 + 1)、

という具合にやります。

この回答へのお礼

御回答、ありがとうございました～（・∀・）

お礼日時：2012/01/08 00:06