三角関数の性質

Question

御世話になっております。三角関数の性質に関する質問は多々あるのですが、特定の問題に関する質問が多いので、敢えて質問させて下さい。

ある資料では、与えられた一般角をθ±π/2×n に変換し、nが偶数か奇数かで三角関数を変えてまず値のみ得る。次に頭でイメージするなり、図示するなどして角の象限を確かめ符号を与える。とありました。 当方まだ三角関数の入口の段階で、この「性質」には色々な解法があるように思えて、どれが最も簡単なのかがわからず困っております。第一の質問として、上の方法は、正攻法に向いてるのかをお教え下さい。

次に、これは当方が勝手に想像してることなのですが、

上の方法が正攻法に向くとして、まず与えられた角を帯分数にして何回半周するのかイメージする考え方はアリでしょうか？

更に、負の角について、その三角関数の値の符号は、正の角のそれとは象限にて真逆になる、という考え方は誤りでしょうか。

アドバイス下さい。宜しくお願い致します。

alice_44 · Accepted Answer

その本のように、何回 1/4 周するかを考えたり、
貴方のように、何回半周するかを考えたり
するよりも、何回一周するかを考えて
余りを 0～2π で求めるほうが、
正攻法というか、簡明で間違いにくいと思います。

負の角の場合も、2π で割った商が
負の整数になるだけで、余りは 0～2π ですから、
単位円を描いて sin, cos の値を得る操作は、
正の角の場合と全く同じです。

girlkeeper · Answer

三角関数に限らず、数学の世界では帯分数を使うべきではありません。

「４πと３分の２π」が４π・２π／３（４πかける３分の２π）と紛らわしいからです。

naniwacchi · Answer

#1です。

＞sin{θ+(π/2)n}で、nが偶数ならばsinθ、nが奇数ならばcosθに変換。
#2さんも書かれていますが、
中途半端に 1/4回転（π/2回転）や 1/2回転（π回転）してsinや cosを言い換えるよりは、
加法定理の式を覚えて利用する方がまだよいかと。

sin(θ＋π/2)
＝ sinθ・cos(π/2)＋ cosθ・sin(π/2)
＝ cosθ

cos(θ＋π)
＝ cosθ・cosπ－ sinθ・sinπ
＝ -cosθ

といった具合です。
当然、単位円上で角度を書いていっても、同じことは示せます。
（与えられているθ以外で、同じθをもつ場所を見つけていく）

単位円を用いて考えるというところでは、
今年のセンタ試験 数IIBの第１問[2]はいい問題かもしれません。

naniwacchi · Answer

こんばんわ。
アドバイスになってないかもしれませんが。＾＾；

＞ある資料では、与えられた一般角をθ±π/2×n に変換し
これは三角方程式の問題を考えているということですか？
具体的な問題と合わせて書いていただいた方が、わかりよいかもしれません。

「帯分数にして」というのは、
結局円周（0≦θ＜2π）の中におさめてしまうしまうということですよね？
わたしは単純に単位円を描いて、いつもその中で角と三角比を考えていました。

＞更に、負の角について、その三角関数の値の符号は、正の角のそれとは象限にて真逆になる、
「象限にて真逆」というのがわからないのですが、
sin(-θ)＝ -sinθ、cos(-θ)＝ cosθ

となるので、符号の着き方は sinか cosかで変わってくるかと。

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6193879.html

三角関数の性質

その本のように、何回 1/4 周するかを考えたり、

三角関数に限らず、数学の世界では帯分数を使うべきではありません。

#1です。

こんばんわ。

この回答への補足

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