プロが教えるわが家の防犯対策術!

2次元の弾性衝突において2つの粒子の質量が等しい場合には、衝突後の速度ベクトルはたがいに直行することを示せ。
以下の解答で間違いをご指摘ください。

衝突前の速度ベクトルを v1,v2 衝突後の速度ベクトルをv1' v2'とすると運動量保存則より、
v1+v2=v1'+v2' ・・・(1)
反発係数の関係から
v1-v2=-v1'+v2'
この2式から v1'=v2 v2'=v1 ・・・※

力学的エネルギー保存則から
v1^2+v2^2=v1'^2+v2'^2 ・・・(2)
(1)を2乗して(2)に代入すると
v1v2=v1'v2'
※より、cosθ1=cosθ2
よって、sin{(θ1+θ2)/2}sin{(θ1-θ2)/2}=0 まで考えたのですが θ2=π/2 とどうしても出ません。
どこが間違っていますでしょうか?

A 回答 (6件)

>衝突前にどちらも速度を持っている時を考えないと、2次元の弾性衝突全般のことを言えないのではないのでしょうか?



2次元一般の場合に衝突後の速度が直交するといえないことは,ただちに証明できます。仮に直交する場合を考えるとき,その衝突を速度を持つ座標系で観測すると明らかに直交しなくなるからです。

つまり,衝突後の速度が直交するというのは衝突前に一方が静止している座標系でのみ観測される現象なのです。題意の読み取りが浅いか,もしくは問題の不備としかいいようがありません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なるほど。
分かりやすい解説ありがとうございました。

お礼日時:2012/01/28 16:54

#3


>衝突後の一方が静止するので直交とは言いがたい気もします

一次元衝突の場合と混同しておられますね。
二次元衝突では剛体球の大きさを考慮します。
回転などの運動は考えていませんが中心線のずれ(1の重心の進行方向からの2の重心のずれ)の可能性は考えるのです。そのずれの大きさによって衝突後の運動の方向が変わります。1が進行方向の右に方向を変えて進んでいれば2は進行方向の左の方向に跳ね飛ばされています。
この問題でこのような2次元の衝突が起こることを前提にして
「衝突後の運動における剛体球の運動の方向は直交していることを示せ」
というものです。
ずれの大きさによって飛び出す方向は変化するにもかかわらず互いに直交する方向に飛び出すという関係は成立しているのです。

求め方は#2にある通りです。


 
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なるほど。
補足説明ありがとうございました。

お礼日時:2012/01/28 16:57

No1です



一般的な二次元弾性衝突について、衝突後の速度が直交しないことはNo4様がおっしゃっている通りです
一方が静止している際に衝突後の速度ベクトルは直交(一方は零ベクトルですが)するとは言えます
ですがこれは同質量の物体の完全弾性衝突という特殊な条件があるため成り立ちます
したがって確かに結論は内積0ですが、重要なのはあくまで運動量保存則とエネルギー保存則を連立した結果速度交換することであり、決して結論の方が大切なわけではありませんので、導出の過程を大切にしてください
    • good
    • 0
この回答へのお礼

解説ありがとうございます。
結果だけに目が行ってしまったようです。
中身の理解を深めることに努めます。

お礼日時:2012/01/28 16:55

No1です



2物体のうちどちらか一方が静止している実験室系ですか
たしかにその場合衝突後の速度ベクトルの内積は0となりますが、衝突後の一方が静止するので直交とは言いがたい気もします
以下に一応証明してみます

v1→=(vx,vy),v2→(0,0)とし、衝突後をv1'→,v2'→とすれば
同質量の物体の完全弾性衝突であるから
v1'→=v2→=(0,0)
v2'→=v1→=(vx,vy)
∴v1'→・v2'→=(0,0)・(vx,vy)=(0,0)

ですがやはりv1'→=0→ですので直交というのは、うーんという感じもします
    • good
    • 0
この回答へのお礼

返答ありがとうございます。
>v1'→=0→ですので直交というのは、うーんという感じもします
なるほど・・・ 

未だ明確な答えが分かりませんね・・・

お礼日時:2012/01/28 00:08

>反発係数の関係から


>v1-v2=-v1'+v2'

これが決定的な誤りです。また,題意はv2=0だと思われますが,条件から抜け落ちています。
2次元衝突において反発係数は,衝突面に対して垂直な方向の相対速度成分の比になります。したがって,ご紹介のように1次元衝突の式をベクトル式に拡張するようなことはできません。

また,反発係数=1はエネルギー保存と同等ですから,両方を使うのは明らかに冗長です。

(1)と(2)だけで事足りるのです。

v1 = v1' + v2' ・・・ (1)
v1^2 = v1'^2 + v2'^2 ・・・(2)

(1)の2乗をとって(2)を引きます。

0 = 2 v1'・v2'

内積(スカラー積)がゼロですから

v1' ⊥ v2'

です。

この回答への補足

返答ありがとうございます。
>題意はv2=0
これは「2次元の弾性衝突」の部分からでしょうか?
だとしたらなぜv2=0 という限定的な場合で考えてもよいのでしょうか?
衝突前にどちらも速度を持っている時を考えないと、2次元の弾性衝突全般のことを言えないのではないのでしょうか?

補足日時:2012/01/28 00:02
    • good
    • 0

完全弾性衝突であれば運動量保存則と反発係数の式を連立するか、


運動量保存則と力学的エネルギー保存則を連立するかですが、
なぜ運動量保存則、反発係数の式、力学的エネルギー保存則の3つを連立しているのですか?
この場合で言えば、反発係数の式か力学的エネルギー保存則のどちらかはいりませんよ

それを踏まえた上で
「2次元の弾性衝突において2つの粒子の質量が等しい場合には、衝突後の速度ベクトルはたがいに直行する」
とは必ずしも言えないということを反例を上げて示します

v1→=(v,0),v2→=(V,0)(v>V>0)の同質量の物体が衝突することを考えますと、
同質量の物体の完全弾性衝突は速度交換をしますので、衝突後の速度をv1'→,v2'→とすれば
v1'→=v2→=(V,0)
v2'→=v1→=(v,0)
となり、衝突後の速度ベクトルは平行となりますので、直角とはなりません

この回答への補足

返答感謝します。

>この場合で言えば、反発係数の式か力学的エネルギー保存則のどちらかはいりませんよ
そうなのですか・・・
この問はごく普通に出版されている力学の本の問題なのですが、ネットで色々調べているとこの問いが示すことができるのは衝突前にどちらかが静止している実験室系のときのみではないかと思っていました。

それを示せば正解になりますか?

補足日時:2012/01/27 22:32
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q平面上の二球衝突とはねかえり係数・非弾性衝突

ビリヤードでの二球衝突を簡素化して考えています。

【条件】
摩擦は一切なし。
非弾性衝突(はねかえり係数e)
ボールは剛体、大きさを持つ。
正面衝突ではない。


この時はねかえり係数を考えるのは二球の中心どうしを
結んだ方向だけで良いのでしょうか?
それとも二球衝突時の接線方向へもはねかえり係数を考
えなくてはいけないのでしょうか?
それとも分解する事ではなく相対速度を考えて
e=-|v1'↑ - v2'↑|/|v1↑ - v2↑|
のようにするのでしょうか?

高校の教科書を参考にしたのですが、はねかえり係数が
正面衝突についてだけしか定義されておらずわかりませ
んでした。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

運動方程式 ma↑ = F↑ を成分ごとに見ると,
力がかかってない方向には加速度が生じないことがわかります.

今の設定の場合,衝突の際に二球に働く力は
お互いに働く撃力のみです.

したがって,二球の中心どうしを結んだ方向にのみ力が働いているので,
速度の変化が生じるのもこの方向のみとなり,
はねかえり係数もこの方向のみ考えればよいことがわかります.

Qモーメントの符号

力のモーメントの符号について質問があります。
私の使っている教科書「工業力学 入江敏博著」には「同一の平面内に働く時計回りのモーメントの符号を負、反時計回りを正」と書いてあるのですが、他の教科書やネットを見ていると「時計回りが正、反時計回りが負」と記述されているのも見られます。計算上の都合だけで、どちらでもかまわないのでしょうか?どちらがより一般的なのでしょうか。

Aベストアンサー

質問者様の事情がわからないので、慎重に答えます。よくわからない場合は補足してください。

(1)「力のモーメントは空間のベクトルだから、単純に正負に区別できない」というのが、たぶん本来の回答です。力のモーメントの定義は、ベクトルの外積を使って、
 N = r × F
です。rは支点から作用点に向かう位置ベクトル、Fは作用点に働く力です。演算「×」は外積といいます。Nの大きさは、|r||F|sinθです。θはrとFの間の角です。Nの向きは、rからFに向かって近いほうの角に回転させたとき、右ねじが進む方向と定義します。Nは、rとFのどちらにも垂直です。

(例)紙面に図が書いてあって、rが右向き、Fが下向きとすると、時計回りの力のモーメントになります。このとき、Nの向きは、紙面の向こう側に向かう向きになります。反時計回りの力のモーメントの場合は、Nの向きは、紙面から手前に向かう向きになります。

(2)力のモーメントは、ベクトルの成分に分けて考えることができます。
 右手の親指・人差し指・中指をフレミングの法則のように垂直にしてそれぞれx,y,z軸とする座標系で考えます。
 紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をz軸として考えている場合は、紙面内で回転する力のモーメントはy軸方向になります。上の(例)とあわせてみると、時計回りはNyが正、反時計回りはNyが負となります。

 一方、紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をy軸として考える場合は逆です。時計回りはNzが負、反時計回りはNzが正となります。

(3)そもそも、紙に実験装置か何かの絵が描いてあったとして、その装置を裏側から見れば回転は逆になるのですから、座標軸がない限り回転方向の正負は決められません。

(3)以上のようなことですから、紙面に書かれた図で力のモーメントを考える場合は、上のように座標軸を決めるか、または時計回りと反時計回りのどちらを正にするのかを、まず宣言する必要があります。

「力のモーメントは時計回りを正とする」と宣言すれば、以後の計算はそれに従います。宣言していない場合は、式の形から見分けるしかありません。

分野によっては、何か習慣があるかもしれません。そのあたりの事情はわかりません。
ご質問の趣旨に合わなければ申し訳ありません。補足をお願いします。

質問者様の事情がわからないので、慎重に答えます。よくわからない場合は補足してください。

(1)「力のモーメントは空間のベクトルだから、単純に正負に区別できない」というのが、たぶん本来の回答です。力のモーメントの定義は、ベクトルの外積を使って、
 N = r × F
です。rは支点から作用点に向かう位置ベクトル、Fは作用点に働く力です。演算「×」は外積といいます。Nの大きさは、|r||F|sinθです。θはrとFの間の角です。Nの向きは、rからFに向かって近いほうの角に回転させたとき、右ねじが進む方向と...続きを読む

Q力学の完全弾性衝突の問題

質量の等しい2つの小球の一方が静止しているところへ他方が衝突して、衝突後、2つは異なる方向に運動した。
完全弾性衝突の場合、衝突後の2小球の運動方向は互いに垂直になることを示せ。
2つの小球を質点とみなし、衝突後の2つの質点の運動量のスカラー積がゼロとなることを用いよ。
運動量と内積をどう組み合わせていいか分かりません。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

一般に
a~・a~ = |a~|^2
ですが、これを a^2 と書いています。

(1)の各辺の内積をとると
p^2 = p1^2 + 2 p1~・p2~ + p2^2
ですね。
これから(2)を辺々引いてください。

Q回転する剛体の壁との衝突後の運動

どなたかこの問題の疑問点についてご教授ください。

(問題)
長さ2aの質量が無視できる棒の両端に質量mの質点が取り付けられてた剛体と、壁との衝突を考える。剛体は常にxy平面内で運動しているとし、質量中心の初期速度を(Vx,Vy), この点周りの反時計回りの回転運動の初期角速度をω(>0)とする。ただし、重力および、壁と剛体との間の摩擦は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。
(問)
質点と壁は弾性衝突するとし、その時に壁が剛体に及ぼす力積をΔfとする。また壁はなめらかであり、力積はy成分のみを持つとする。衝突直後の剛体の質量中心の速度を,角速度を(V'x,V'y), この点周りの反時計回りの回転運動の初期角速度をω'として,衝突前後の剛体の角運動量変化の式、運動量変化の式を示せ。
また弾性衝突した質点の衝突直前後のy方向速度Uy,U'yが関係式U'y=-Uyをみたすことと先ほど求めた式を用いて、衝突直後のV'x、V'y、ω'をa、θ、Vx、Vy、ωを用いて表せ。

(疑問点)
運動量、角運動量の式をそれぞれ
2m√(Vx^2+Vy^2) + Δf = 2m√(V'x^2+V'y^2)
2ma^2ω+Δfa*cosθ=2ma^2ω'
というように立てて、質点のy方向の運動量変化の式
2mUy + Δf = 2mU'y
の式からΔfを4mUyと算出して角運動量変化の式に代入して
ω' = ωcos^2θ+2Vy/a*cosθ+ω
と算出してこれを
V'y = U'y - v'y = Vy + aωcosθ - aω'cosθ (v'yは衝突後の質量中心周りの回転速度)
に代入したのですが、得られたのは
V'y= Vy - (aωcos^3θ+2Vcos^2θ)
とy方向の変位が振動する解となってしまいました。

この手順の訂正箇所をどなたか教えてください。
あと,V'xはx方向の力積を受けていないからVx=V'xでいいのでしょうか。

どなたかこの問題の疑問点についてご教授ください。

(問題)
長さ2aの質量が無視できる棒の両端に質量mの質点が取り付けられてた剛体と、壁との衝突を考える。剛体は常にxy平面内で運動しているとし、質量中心の初期速度を(Vx,Vy), この点周りの反時計回りの回転運動の初期角速度をω(>0)とする。ただし、重力および、壁と剛体との間の摩擦は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。
(問)
質点と壁は弾性衝突するとし、その時に壁が剛体に及ぼす力積をΔfとする。また壁はなめらかであり、力積はy成分のみ...続きを読む

Aベストアンサー

No.6と同じ者です。下記の部分は符号が逆です。失礼しました。

【誤】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'-a*ω'*cosθ

【正】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は -a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-(-a*ω*cosθ)=Vy+a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'+a*ω'*cosθ

衝突するとω'がωと逆になるのは明解ですが、左回りを正にしているため、Uy'の式もこの形で表わせます。

結果は、
Vy'=-(sinθ)^2/(1+(cosθ)^2)*Vy-(2*cosθ)/(1+(cosθ)^2)*a*ω //
ω'=(sinθ)^2/(1+(cosθ)^2)*ω-(2*cosθ)/(1+(cosθ)^2)*Vy/a //

となります。

No.6と同じ者です。下記の部分は符号が逆です。失礼しました。

【誤】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'-a*ω'*cosθ

【正】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は -a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-(-a*ω*cosθ)=Vy+a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'+...続きを読む


人気Q&Aランキング