数I・Αの図形の問題です。

Question

AB=５、BC=８、AC=７の三角形ABCがある。

BCの中点をMとし  AMが直径の円と CAとの交点をDとする。 

このとき  ADの長さを求めよ。 



と言う問題です。 

直径のAMの長さは  √21になり、MCは ４ですよね。 

求めたいADをχとおき 
DCを ７-χとおき 

方べきの定理でやってみました。 

４^2 =７(７-χ) で解いたら 

答えが  33/７  になりました。 

でも 解答例には  27/７となっており 

相似を使って解いていました。 


方べきの定理では  できないのでしょうか？

moto_koukousei · Accepted Answer

直径のAMの長さは √21になりますか？
回答は27/7となっていましたか？
　
円の直径で弦とする円周角は直角になる。
直角三角形ならば、ピタゴラスの定理が使える。
直角三角形で他の一角が等しい三角形は相似なので、対応する辺は、、、

noname#166245 · Answer

三平方の定理→（相似の代わりに）方べき　が速いんでしょうね。

円とBMとの交点をEとすると、AMが円の直径なのでAEM＝90°
BH＝xとして、三平方の定理より
5^2 - x^2 = AE^2 = 7^2 - (8-x)^2
これを解いて x = 5/2
従って、CE＝ 8 - x = 11/2

方べきの定理より、CD・CA＝CM・CE なので、AD＝yとして
(7-y) x 7 = 4 x 11/2
これを解いて y = 27/7

ferien · Answer

AB=５、BC=８、AC=７の三角形ABCがある。

BCの中点をMとし AMが直径の円と CAとの交点をDとする。

このとき ADの長さを求めよ。

と言う問題です。

>でも 解答例には 27/７となっており 
>相似を使って解いていました。 
相似を使って、ＡＤ＝27/7が求められます。

>方べきの定理では できないのでしょうか？ 
AからＢＣに垂線をおろし交点をＥとする。
方べきの定理に当てはめると、
ＣＡ・ＣＤ＝ＣＥ・ＣＭとなりますが、
ＣＥの長さとＣＤの長さが分からないので、
これから求めることはできません。

垂線ＡＥの長さは、△ＡＢＣの高さなので、△ＡＢＣの面積を出せば求められます。
３辺が分かっているので、ヘロンの公式より面積＝１０√３
底辺ＢＣ＝８とすると、
（１／２）×８×ＡＥ＝１０√３　だから、ＡＥ＝５√３／２
ＡＭが直径と言うことから直角三角形がいろいろできますが、その中で、
△ＡＥＣと△ＭＤＣは相似です。
角Ｃ共通で、角ＡＥＣ＝角ＭＤＣ＝９０度だからです。
よって、ＡＣ：ＭＣ＝ＡＥ：ＭＤより、
７：４＝５√３／２：ＭＤから、ＭＤ＝１０√３／７
△ＭＤＣで三平方の定理より、
ＤＣ^2＝４^2－（１０√３／７）^2
　　　＝４８４／４９＝（２２／７）^2　より、ＤＣ＝２２／７
ＡＤ＝７－（２２／７）＝２７／７
となりました。

>直径のAMの長さは √21になり、MCは ４ですよね。
AMの長さは √21になります。
△ＡＤＭから三平方の定理より
ＡＭ^2＝（２７／７）^2＋（１０√３／７）^2
　　　＝２１

計算が少し面倒ですが確かめてみて下さい。

yyssaa · Answer

AMが直径の円はBCに接していますか？

ukohcamay · Answer

ＣＭが円の接線になっていないので，その方程式からはＡＤは求められないかと思います。

数I・Αの図形の問題です。

直径のAMの長さは √21になりますか？

三平方の定理→（相似の代わりに）方べき が速いんでしょうね。

AB=５、BC=８、AC=７の三角形ABCがある。

AMが直径の円はBCに接していますか？

ＣＭが円の接線になっていないので，その方程式からはＡＤは求められないかと思います。

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