
次の3つの問いはどうといたらよいでしょうか?よろしくお願いします。
(1)x/1+x⁴を部分分数に展開せよ。
(2)x²+1∓√2を平方完成せよ。
(3)(2)を利用して、(1)の式を積分せよ
<自分の解答>
(1)x/(x²+i)(x²-i) として、A、B、C、Dとおき、それらを求め、i/2{x/(x²+i)}-i/2{x/(x²-i)}としました。
(2)(x∓√2/2)²+1/2
(3)(1)(2)の自分の結果を使い、x/1+x⁴の積分に結びつけるのでしょうか?
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)で、虚数を使っちゃ絶対ダメ、というのではありませんが、
微積関係の話なら、実数範囲で考えられれば、そうした方が、
一般論としても、扱いやすいですし、
この問題だと、うまく、(2)を使って(3)へ、に繋がりませんよね。
なので、(1)は、
x^4 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - ((√2)x)^2
= (x^2 + 1 + (√2)x)(x^2 + 1 - (√2)x)
という因数分解を使って((2)との関係が見えてきましたよね^^)
与式 = {1/(2√2)}{1/(x^2 + 1 - (√2)x) - 1/(x^2 + 1 + (√2)x)}
と、素因数分解をします。
(2) の平方完成はその通りで、
(3) では、(1)(2)を使って、2つ、
1/((何とか)^2+1/2) の形の関数の積分をすればいい。
大学生なら、1/(x^2+a^2) 形の不定積分の公式を
知ってて、覚えていれば、話は早いですが、
知らなかったり、まさかとは思いますが、高校生だったりすれば、
(何とか) = (1/√2)tanθという、よくあるパターンの
置換積分で、計算は結構面倒ですが、何とかなります。
No.2
- 回答日時:
(1)x/(1+x^4)
=x/((x^2+1)^2-2x^2)
=x/((x^2+1-√2 x)(x^2+1+√2 x))
=(1/(2√2))(1/(x^2+1-√2 x) - 1/(x^2+1+√2 x))
=(√2/4)/(x^2+1-√2 x) - (√2/4)/(x^2+1+√2 x)
(2) x^2 +1∓√2x
=(x∓√2/2)^2 +(1/2)
なので合っています。
(3)(2)を利用して、x∓(√2/2)=t/√2で変数変換して
∫x/(1+x^4)dx=(√2/4){∫2/(t^2 +1)dt-∫2/(t'^2 +1)dt'
積分公式:∫du/(1+u^2)=tan^-1(u)+C を用いて
=(√2/2){tan^-1(t)-tan^-1(t')}+C
=(1/√2){tan^-1(√2x-1)-tan^-1(√2x+1)}+C
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
今、見られている記事はコレ!
-
弁護士が解説!あなたの声を行政に届ける「パブリックコメント」制度のすべて
社会に対する意見や不満、疑問。それを発信する場所は、SNSやブログ、そしてニュースサイトのコメント欄など多岐にわたる。教えて!gooでも「ヤフコメ民について」というタイトルのトピックがあり、この投稿の通り、...
-
弁護士が語る「合法と違法を分けるオンラインカジノのシンプルな線引き」
「お金を賭けたら違法です」ーーこう答えたのは富士見坂法律事務所の井上義之弁護士。オンラインカジノが違法となるかどうかの基準は、このように非常にシンプルである。しかし2025年にはいって、違法賭博事件が相次...
-
釣りと密漁の違いは?知らなかったでは済まされない?事前にできることは?
知らなかったでは済まされないのが法律の世界であるが、全てを知ってから何かをするには少々手間がかかるし、最悪始めることすらできずに終わってしまうこともあり得る。教えてgooでも「釣りと密漁の境目はどこです...
-
カスハラとクレームの違いは?カスハラの法的責任は?企業がとるべき対応は?
東京都が、客からの迷惑行為などを称した「カスタマーハラスメント」、いわゆる「カスハラ」の防止を目的とした条例を、全国で初めて成立させた。条例に罰則はなく、2025年4月1日から施行される。 この動きは自治体...
-
なぜ批判コメントをするの?その心理と向き合い方をカウンセラーにきいた!
今や生活に必要不可欠となったインターネット。手軽に情報を得られるだけでなく、ネットを介したコミュニケーションも一般的となった。それと同時に顕在化しているのが、他者に対する辛らつな意見だ。ネットニュース...
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報