非線形微分方程式の初期値の決め方

f(x),f '(x),g(x), g'(x)についての非線形微分方程式を数値計算しようと思います。
得るべき解曲線などはあらかじめわかっているとします。
初期条件としてf(0)=0,g(0)=1というものだけがわかっているとします。
このとき、得るべき解曲線を得るためにはどのようにしてf '(x),g'(x)の初期値を決定すればよいのでしょうか？
現在自分が考えてやってみてるのはf '(x),g'(x)をx=0まわりの級数展開で近似して、その近似した式を元の微分方程式に代入して、展開係数の関係式を求めるという方法です。
これでやっているのですがうまくいきません。

教科書レベルでよくあるのは初期値や境界値がわかっていて、微分方程式を解くというものだと思うのですが、
先に解曲線だけが得られているとき、その解曲線を得るような初期値を決めようとするときはどうすればいいのでしょうか？（非線形なのでちゃんとした式で記述できる解ではありません）

教えてください。お願いします

No.5 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/06 23:34

FTの感覚では「微分方程式の逆問題」と「統計」は，だいぶ違う分野です。

微分方程式には，「確率や運命」は入り込みませんが，
統計には「確率や運命」が入る要素があります。

元の問題に戻ると，
４変数の微分方程式の答を一意に決めるためには，原理的に条件式が4つ必要です。
>初期条件としてf(0)=0,g(0)=1というものだけがわかっている
なら，まだ2つの自由度が残っています。

境界条件(例えばf(1),g(1)の値)か，
初期条件(f'(0),g'(0))のように，
何かの条件がつかないと答は決まらない
と理解しています。
今，解きたい解は「何かの物理的な要請を満たす解」であるにもかかわらず，
「その条件が数学としては明確になってない」のかなと思います。



http://okwave.jp/qa/q7317736.html
の続きでしょうか?

だとすると，両端の特異点(x=0,x=1)で発散しない解が欲しいということでしたっけ??

例えば，ベッセルの微分方程式を例に取るなら，
x=0で有界な第一種ベッセル関数と，
x=0で発散する第二種ベッセル関数の
線形結合が解です。
第一種ベッセル関数に相当する分だけ欲しいとすれば，
級数展開はよい方法だと思います。

ただし，ベッセルの微分方程式は，
たかだか【線形】にすぎないので，まだ何とかなります。
しかし，【非線形】の微分方程式になると，イロイロ面倒
(複雑でオモロイ or　ややこしすぎて手に負えん)になります。


x=1でも有界になる解がほしい，ということでしたっけ?
x=1の周りで級数展開できる解と，x=0の周りで級数展開できる解が，
1本の微分方程式でつながるのか，という点には，疑問があります。


先回も申しましたが，
質問者さんのぶち当たっている問題は，
「数値計算のテクニックや努力で解決できる問題」ではなく，
微分方程式の特異点に関する本質的な問題ではないか，
という気がしています。
/* ただし，物理現象をモデル化して微分方程式を建てたときの[吟味不足]が，
必要以上に問題を複雑化している可能性はあります。*/


「定義域の両端２点(x=0,1)を特異点とする４階の微分方程式において，
片端x=0では２変数の値が指定されており，初期値問題として２自由度が残っている。
ただし，他端(x=1)も特異点なので，ヘボな解は無限大に発散してしまう。
x=1でも有界な解を求めたい。」
という形で定式化されるのかしら??

そのあたりの定式化をしっかりとした上で，
Alice先生のような純粋数学系の先生に訴えると，
本質的な解決策が得られるように思います。

/*　FTのように，工学・応用・数値解析系では，
　　技巧と力づくで何とかなるなら，ナントカごまかせても，
　　数学的に本質的に難しい問題にぶち当たったら，右往左往・・・・*/

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/06 21:44

＞ 数値計算って本当に難しい

そうですね。
厳密かつ簡潔に処理するのは、数学(解析学)の仕事。
計算機(数値計算)は、それが困難な問題に対して、
あれやこれやの技を繰り出して何とか近似する
のが仕事ですから、個別の問題ごとに
デリケートに扱わなければならないでしょう。
難しい(というか面倒くさい)ことが多かろう
と思います。

とは言え、対象が微分方程式であれば、
初期値問題の解の存在や、その解の定性的性質
などは、数学的によく吟味されています。
全てを諦めて統計処理やシミュレーションに
持ち込む前に、食い下がって分析してみる意義は
少なくないと思われますが…
結局、具体的な方程式の式形しだいですかね。

No.3 回答者： ur2c 回答日時： 2012/03/06 16:43

> 数値計算って本当に難しい

そうですね．ですから工学の逆問題は数値計算でなく統計として扱った方が良いという意見です．気分的に，そうした方が思い切った手を打ちやすいからです．たとえば事前情報をどんどん取り込むのは数値計算としては卑怯なのかもしれませんけど，統計ではきれいごとを言ってられないので普通です．Bayesian や entropy maximization が役に立ちます．

No.2 回答者： ur2c 回答日時： 2012/03/05 15:15

これは逆問題の一種で，いろんなやり方があります．inverse problem で検索してみてください．応用によっては backward analysis とも呼びます．

中心は不安定性への対処です．経験では結局のところいつも，手がかりになりそうな事前情報をかき集めて注入することになります．事前情報とは，たとえば「 f'(0) は [a-b,a+b] の範囲内にあるはず」とかです．それを得るには応用上の文脈が重要です．

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/逆問題

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

逆問題ですか・・・
色々調べてみましたけどガラーキン法などが教科書レベルの解き方みたいですね。
こちらもやっぱり解の不安定性への対処がカギになってくるんですね。

数値計算って本当に難しいですね。

お礼日時：2012/03/05 17:58

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/05 14:26

普通よく行われているのは、x=0 の近傍で

微分方程式を線型近似した初期値問題の解
f(x)≒F(x), g(x)≒G(x) を使って、
f'(0)≒(F(Δx)-F(0))/Δx,
g'(0)≒(G(Δx)-G(0))/Δx を、もとの方程式の
初期値に使うという方法だと思います。

数値積分の教科書を読むと、そのことによって
生じる解の不安定性の話題などが載っています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

実は線形近似も一度試したんですが、得たい解を得ることはできませんでした・・・
定常解を得たいんですが発散解や振動解しか得られません・・・
解の不安定性問題になってそうですね。

お礼日時：2012/03/05 17:55