No.5
- 回答日時:
他の回答者の方々のおっしゃるように、この半径は適当に補助線を引いたりして
三平方の定理なり相似なり使えば簡単に求まるのですが、別の方法としては、
四面体の内接球の半径を求めたりするのに良く使われる方法ですが、
一般に、半径rの球に外接する(すべての面が球に接する)多面体の体積をV、
表面積をS、とすると
V=r*S/3
となります。
四面体においてこれが成り立つ理由を考えてみればお分かりになると思いますが、
これは八面体でももちろん有効です。
したがって、今回の問題の場合、
V=(8√2)/3
S=8√3
ですから、これらを適用すれば
r=(√6)/3
と求めることができます。
もし、正八面体の体積や表面積の求め方が分からないなら、またご質問ください。
No.3
- 回答日時:
一辺の長さが2の正八面体ABCDEFがある。
この正八面体に内接する球の体積を求めよ。答え(8√6π)/27
>半径が求められません。
正八面体のA-BCDEの部分を考えます。
Aから正方形BCDEに垂線をおろして、交点をHとすると、
Hは、正方形の対角線の交点で、内接球の中心でもある。
△ABCでBCの中点をMとすると、△ABCは1辺2の正三角形だから、高さAM=ルート3
△HBCから、BM=1,HB=ルート2(HBは正方形BCDEの対角線の半分)より、
高さHMは、△HBMが1:1:ルート2の直角三角形だから、HM=1
△AMHを考える。AHは垂線だから直角三角形
HからAMに垂線を引いて、交点をPとすると、HPが内接球の半径になる。HP=rとおく。
AH^2=AM^2-HM^2=(ルート3)^2ー1^2=2より、AH=ルート2
△AMHと△AHPは相似。(角A共通、直角もあるから2つの角が等しいから)
よって、AM:AH=HM:HPより、ルート3:ルート2=1:r
よって、r=ルート6/3
内接する球の体積=(4/3)×π×(ルート6/3)^3=(8√6π)/27
でどうでしょうか?図を描いて考えてみて下さい。
No.2
- 回答日時:
方針として、正八面体の上半分(正四角錐)の体積を、球の半径の値で表現できるか考えます。
正八面体に内接している球の中心は、正四角錐の底面BCDEの対角線の交点上にあります。これをOとします。
すると、正八面体と球が接する接点と、点Oとの距離は球の半径と等しくなりますから、この半径をrとします。
今、面ABC上の、正八面体と球の接点をHとすると、線分OHは面ABCと垂直となります。つまり線分OHは、四面体OABCで底面を面ABCとした時の高さに相当します。
線分OHはrと等しいですから、四面体OABCの体積V1は、
V1=2×√3×(1/2)×r×(1/3)です。
ここで、同様に四面体OACD、OAED、OABEを考えるとそれらの体積は全てV1と等しいです。
よって、正八面体の上半分(正四角錐)の体積Vは、
V=V1×4=2×√3×(1/2)×r×(1/3)×4=(4√3r)/3・・・(1) です。
このrを出すために、正四角錐の体積Vを、より一般的な「底面積×高さ×1/3」の公式から求めます。
底面を面BCDEとした時、高さ(AO)は√2ですから、(三平方の定理BO^2+AO^2=AB^2から出ます)
V=2×2×√2×(1/3)=(4√2)/3・・・(2) になります。
よって(1)と(2)からr=√6/3となるので、あとは球の体積の公式に当てはめれば答えが出ます。
わかりにくい文章かもしれませんが、以上で回答とさせていただきます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 大学受験 正四面体の外接球の半径Rと内接球の半径rを求める問題です。 (3)の答えの「正四面体の対称性よりKL 1 2023/07/20 13:41
- 数学 半径6の円Kを底面とする半球がある。半球の底面に平行な平面が半球と交わっており、交わりの円Lの半径は 6 2022/06/24 06:34
- 数学 球の中心が正三角形の3辺をたどって1周したとき、球が通過してできた立体の体積を求めなさい。 1 2022/06/23 20:35
- 数学 数学の問題がわかりません。(球の中心の座標を求める問題) 2 2023/02/14 15:52
- 物理学 導体球殻 電場・電位 2 2023/01/28 11:51
- 工学 至急お願いします。 誘電体と接する導体表面に面密度のσ正の電荷を一様に与えると、境界面には応力が発生 1 2022/07/31 02:27
- 数学 正八面体の8面を、7色A~Gで塗り分ける方法は何通りあるか(隣り合う面は同じ色でもいいが、回転して一 1 2022/08/04 23:06
- 数学 数学 立体の母線について 母線は「円錐・円柱・角柱」などにありますが 「角柱」や「球」「正八面体や正 3 2023/01/20 17:57
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 数学 高校数学1について質問です。 次の問題の時の解き方と答えを教えてください。 『1辺が10cmの正方形 7 2022/09/12 19:03
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報