よろしくお願いします.
たとえば,
関数f(x)が与えられたとします.
その関数は,X=a点の,ある近傍において
連続微分可能(単純のためここでは1回微分可能)とします.
よって,
その近傍においては,元の関数f(x)の点でも連
df(X)/dxに関しても連続ですよね.ここまでは
OKですか?
次に,
この場合,この条件から,
X=a点で,f(a)も連続であると言えるのですか?
ちなみにa点では,連続微分可能ということは言っていません.
しかし,
関数f(x)がaの近傍で定義されていて,
lim{f(x)}=f(a)
x→a
ならば,f(x)は,x=aで連続である
と通常の解析本での連続の定義はされているので,
これを表記せねば,連続であるとは言えないのでしょうか?
それとも,表記せずとも,導出されてしまうのでしょうか?
イプシロンデルタの表記法はなじみがないので,
できれば,使うのであれば初心者にも分かりやすいように,どうぞお願いいたします.
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>X=a点で,f(a)も連続であると言えるのですか?
え~っと、下準備としてRolleの定理と平均値の定理を確認し、それからご質問の回答に進みましょう。
【Rolleの定理】
f(x)は区間[a,b]で連続、(a,b)で微分可能とする。もしf(a)=f(b)ならば、区間(a,b)のある点においてf'(X)が0になる点Xが存在する。(注)(a,b)は開区間、[a,b]は閉区間を意味しますね。
[証明]直感的にいきましょう(笑い)。a,b両端で関数の値(y軸の高さ)が等しいことから関数としては
(1)y=dというx軸に平行な直線か
(2)上あるいは下に凸の関数
となりますね。(1)の場合は区間(a,b)内の全ての点でf'(X)=0を満たしますし、(2)の場合は(a,b)内のある点x=ξで極値をとる、つまりf'(ξ)=0となる点x=ξが存在するということになります。
【平均値の定理】
f(x)は[a,b]において連続、(a,b)において微分可能とすると
f(b)-f(a)/(b-a)=f'(ξ),a<ξ<b (3)
なるξが存在する。
[証明]
F(x)=f(x)-Ax (4)
とおいて、F(a)=F(b)となるように定数Aを決めることができます。つまり
F(a)=f(a)-Aa=f(b)-Ab=F(b)
から
A=f(b)-f(a)/(b-a) (5)
と求まります。ところでF(a)=F(b)ですからRolleの定理よりF'(ξ)=0、a<ξ<b なるx=ξが存在することになります。(4)よりF'(x)=f'(x)-Aとなりますから
F'(ξ)=f'(ξ)-A=0 (6)
(6)に(5)を代入して整理すると
f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a) (7)
となって平均値の定理が証明されました。
<本論>
次ぎの定理がご質問の回答になると思いますが、その証明を示しておきます。
[定理]
「f(x)が連続なる区間内の1点aは別としてaの近傍ではf(x)が微分可能で、lim[x→a]f'(x)=kが存在するならばf'(a)=k、すなわちaの近傍においてもf(x)は微分可能で、f'(x)は連続である。」
[証明]
区間(a,x)あるいは(x,a)をとり、平均値の定理を適用すると
f(x)-f(a)/(x-a)=f'(ξ),a<ξ<x or x<ξ<a (8)
となる点x=ξが必ず存在しますね。x→aの時、ξ→aとなりますから、上でのべた仮定によりf'(ξ)→kとなります。つまり lim[x→a]{f(x)-f(a)/(x-a)}=k即ちf'(a)=k
以上、駆け足で駆け抜けましたが、この辺の詳しい説明は、高木貞治著「解析概論」に載っていますので(←他にも適当なテキストがあると思うが)、一度図書館でご覧になられてはいかがでしょうか。
年末年始で,返事できなく申し訳ありませんでした.
ご丁寧に順を追って説明していただき大変分かりました.また,早々,高木貞治を参考させていただきました.どうもありがとうございました.
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