確率密度関数が多変量正規分布の場合に、最尤推定を用いて平均・分散を推定する式の導出で躓いています。
具体的には、以下のアドレスに公開されているPDFの4ページ、偏微分の部分がどのように計算しているのか理解できていません。
http://www.geocities.co.jp/technopolis/5893/4-2. …
どのようにしてこのような式変形が行われているのか、どなたか教えていただけますか?
よろしくお願い致します。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
ヒントが足りないということらしいっすね。
(∂/∂x) (x' A x) = (A+A')x
です。特に A=A'である場合には
(∂/∂μ)(x' A x) =-2Ax
で、ご質問の場合、
y[k] = φ(x^(i))-μ[k]
f = y' (Σ^(-1)) y
とすると(yとfはiに依存しますが、記号がややこしくなるだけなので省略して記述します)
J(μ,Σ)= - log|Σ| - (1/(2N))Σ{i=1~N} f
だから、
∂J(μ,Σ)/∂μ = -(1/(2N))Σ{i=1~N} (∂f/∂μ)
である。あとはfをベクトルμで微分すれば良いわけです。
∂f/∂μ = (∂/∂μ)(y' (Σ^(-1)) y)
= (∂y/∂μ)(∂/∂y)(y' (Σ^(-1)) y)
そしてΣ^(-1) は共分散行列だというのだから、
Σ^(-1) = (Σ^(-1))'
なので
∂f/∂μ = 2(∂y/∂μ)((Σ^(-1)) y)
また、
∂y[k]/∂μ[j] = -δk,j (クロネッカーのδ)
だから
(∂y/∂μ) =-E (Eは単位行列)
かくて
∂f/∂μ = -2((Σ^(-1)) y)
です。だから、
∂J(μ,Σ)/∂μ = (1/N)Σ{i=1~N} ( (Σ^(-1)) (φ(x^(i))-μ) )
No.2
- 回答日時:
転置を ' と書く事にして
x=(x[1], x[2],…, x[n])'
のとき、xに依らないn行n列の行列Aについて、
(∂/∂x[j]) (x' A x)
がどうなるか、一度「ばらして確認」しておくと良いですね。これをj=1~nについて並べたベクトルが (∂/∂x) (x' A x) です。
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