誘電体を挿入したコンデンサの導体板間の電位

以下の問題について教えてください。

コンデンサの導体板の面積がS, 距離がdとします。
このコンデンサに誘電率εの誘電体が挿入され、空間電荷が体積電荷密度ρで均一に分布しているとする。

コンデンサの片側を接地し、V0の電圧をかける。
このとき導体板間の設置された側から距離x(0≦x≦d)の点での電位はどうなるか.


真空中であれば、電界は

E=V0/d

で一様であり,

V(x)= V0x/d

となるとおもいますが、導体の場合は内部の電界は一様ではないのですか？

No.7 ベストアンサー 回答者： foobar 回答日時： 2012/04/18 21:13

ちょっと計算してみました。

接地側電極をx=0として、Eをxの正の向きにとり、接地側電極の電荷を-Q-Sρd、対抗電極の電荷をQとする。（接地側電極の外側(x<0)で、E=0の条件から、電荷の総和は0なので、接地側電極に空間電荷と異符号同量の電荷を置く。）
xの点における電界は、ガウスの法則から
E(x)={(-Q-Sρd)/(2S)+ρx/2}-{ρ(d-x)/2+Q/(2S)}=-Q/S-ρd+ρx。
V(x)＝∫-Edx|0<x<x=(Q/S+ρd)x-ρx^2/2
V(d)=Qd/S+ρd^2/2=V0 からQ=S(V0-ρd^2/2)/d=S(V0/d-ρd/2)
これをV(x)の式に代入すると、
V(x)=(V0/d+ρd/2)x-ρx^2/2 となるかと思います。
（ちなみに電界E(x)=-(V0/d+ρd/2-ρx)になるかと思います。）

この回答へのお礼

なんども回答いただいたのに、放置してしまってすいませんでした。
ご回答を参考に解けました。

他に、ポアソン方程式を使う解法もありました。

お礼日時：2012/04/19 09:17

No.6 回答者： foobar 回答日時： 2012/04/18 15:44

空間電荷がある空間では、divD≠0（D=εE) なので、一様電界にはならないかと思います。

(電極に平行な微小厚さδdの平板空間を考えて、ガウスの法則を適用すれば、平板空間の表と裏でδE=ρδd/εだけの差異が生じるのがわかるかと思います。）

No.5 回答者： el156 回答日時： 2012/04/18 00:57

No.4です。

失礼しました。ε/ε0倍だと強くなってしまいますから、ε0/ε倍の誤りです。

No.4 回答者： el156 回答日時： 2012/04/18 00:53

誘電体内は空間電荷が一様に分布していますから電界が一様ですが、分極電荷が電極との界面に集まりますから、電極上の真電荷と誘電体の分極電荷が隣り合う界面部だけ電界が強くなっていて、この界面部で電位勾配が大きくなっていると思います。

誘電体内部では誘電体が無い場合と比べて電界はε/ε0倍に弱まっていると思います。分極が電界を打ち消していると考えても良いと思います。

No.3 回答者： foobar 回答日時： 2012/04/16 09:20

＃２、訂正。

（ということは両電極に-ρSd/2の電荷がある）は間違ってるような。
正しくは、条件を満たすように両電極の電荷を計算、です。
（接地側電極外側で電界０から、両電極の電荷の和が-ρSdになるのは言えるけど、電荷の分配は電極間の電位差が０になるようにしないとまずいので。）

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2012/04/16 09:15

導体の内部ではなくて、誘電体の内部の電界ですよね、求めるのは。

体積電荷が均一に存在しているので、その影響があるかと思います。

もっとスマートな方法があるかと思いますが、私が計算するとしたら、以下の方法で計算するでしょう。
a. 両端の電極を同電位にしたとき（ということは両電極に-ρSd/2の電荷がある）の内部の電界E0を計算する。
b. 体積電荷が無いときの内部の電界はV0/dになる。
c. 系が線形なので、両者を足して、最終的な電界を計算する。

No.1 回答者： fjnobu 回答日時： 2012/04/16 08:54

導体の内部ということは、導体の表面で囲うわれた内側ですね。

それなら、電界は０です。
２つの導体の間の電位は、距離に比例します。

この回答への補足

すいません、書き間違えていました。導体版の間の電位です。

補足日時：2012/04/16 09:30