【指数・対数】

(1)ａ=２^(1/2)、ｂ=３^(1/3)、ｃ=5^(1/5)の大小関係は？

(2)２^ｘ＝3^y=5^z（ただしｘ、ｙ、ｚは正の整数）
２ｘ、３ｙ、５ｚの大関係は？

(2)が難しいようで、(1)を利用するらしいのですが、
解けません。

詳しい解説、お願いします(><)

No.7 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2012/05/06 13:03

ａ=2^(1/2)、ｂ=3^(1/3)、ｃ=5^(1/5)

1)それぞれを30乗（2,3,5の最小公倍数乗）すると
a^30=2^15=32768
b^30=3^10=59049
c^30=5^6=15625
よってc^30<a^30<b^30
a,b,cは正だから30乗根の大小関係もこれと同じ
c<a<b

2)2^x＝3^y=5^z=k とおく（ただしx,y,zは正の整数 kは5以上の正の整数）

（常用）対数をとると
xlog2=ylog3=zlog5=logk>0

x=logk/log2 　2x=2logk/log2=logk/log2^(1/2)
y=logk/log3 　3y=3logk/log3=logk/log3^(1/3)
z=logk/log5 　5z=5logk/log5=logk/log5^(1/5)

ところで1の結果の対数をとると、a,b,cはいずれも１より大だから
0＜log5^(1/5)<log2^(1/2)<log3^(1/3)
したがって　 3y<2x<5z

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/06 11:39

#4,#5です。

A#5の訂正
下記の部分を差し替えて下さい。

>2^x=3^y=5^z=k(x,y,zが正整数なのでkは5以上の正整数）とおくと
>logを自然対数として
　2x=2log(k)/log(2)=log(k)/log(a)
　3y=3log(k)/log(3)=log(k)/log(b)
　5z=5log(k)/log(5)=log(k)/log(c)
>と表せる。ここでk≧5なのでlog(k)>0

(1)より b>a>c(>1)なので log(b)>log(a)>log(c)>0
　log(k)/log(b)<log(k)/log(a)<log(k)/log(c)
∴3y<2x<5z

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/06 11:29

(2)について

>(1)を利用するらしいのですが、
(1)を利用すると

2^x=3^y=5^z=k(x,y,zが正整数なのでkは5以上の正整数）とおくと
logを自然対数として
　2x=2log(k)/log(2)=log(k)/a
　3y=3log(k)/log(3)=log(k)/b
　5z=5log(k)/log(5)=log(k)/c
と表せる。ここでk≧5なのでlog(k)>0

(1)より b>a>c(>1)なので
　log(k)/b<log(k)/a<log(k)/c
∴3y<2x<5z

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/06 10:31

取り敢えず(1)

b^6 -a^6=3^2 -2^3=9-8=1>0
b^6>a^6
a,bは正の実数なので
b>a ∴3^(1/3)>2^(1/2)

a^10 -c^10=2^5 -5^2=32-25=7>0
a^10>c^10 ...(A)

a,cは正の実数なので
a>c ∴2^(1/2)>5^(1/5) ...(B)

(A),(B)より
∴　b=3^(1/3)＞a=2^(1/2)＞c=5^(1/5)

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2012/05/06 09:29

(2)

2^x=3^y=5^z=tとおく（t>1）。
2^(6x)=3^(6y)=t^6
2^(3・2x)=3^(2・3y)=t^6
8^(2x)=9^(3y)=t^6
8<9だから、2x>3y

2^(10x)=5^(10z)=t^10
2^(5・2x)=5^(2・5z)=t^10
32^(2x)=25^(5z)=t^10
32>25だから5z>2x

∴5z>2x>3y

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2012/05/06 09:05

とりあえず(1)

a^6=8
b^6=9
a>0,b>0だから、b^6>a^6ならばb>a

a^10=32
c^10=25
a>0,c>0だから、a^10>c^10ならばa>c

∴b>a>c

No.1 回答者： masssyu 回答日時： 2012/05/06 08:54

解答というより解説を求めているみたいなので、ヒントだけ出します

（1）ではまずはlogをつかった対数の形にします
そして底の変換公式を使って底を同じにした後大小関係を調べます

（2）も同じように対数の形にして変換公式を使って大小関係を調べます
ただし、（1）とは少し違い、考える必要があります。

頑張ってください