No.3ベストアンサー
- 回答日時:
∬e^(-x^2+2xy-5y^2)dxdyという問題でおそらく極座標に変換するのだと思いますが、
>(-x^2+2xy-5y^2)の部分をどのように変換すればいいのかわかりません
-x^2+2xy-5y^2
=-(x^2-2xy+y^2)+y^2-5y^2
=-(x-y)^2-4y^2
=-{(x-y)^2+(2y)^2}なので、
u=x-y,v=2yとおくと、
x=u+(v/2),y=v/2
xについて、uで微分して1、vで微分して1/2
yについて、uで微分して0 vで微分して1/2
|J|=1×(1/2)-(1/2)×0=1/2
∬e^(-x^2+2xy-5y^2)dxdy
=(1/2)∬e^(-u^2-v^2)dudv
u=rcosθ,v=rsinθ とおけば、極座標に変換できます。
どうでしょうか?
No.5
- 回答日時:
u=x-y,v=2yの変数変換を使わせていただくなら
x=u+(v/2),y=v/2
ヤコビアン|J|=1/2
dxdy=(1/2)dudv
-x^2+2xy-5y^2=-u^2-v^2
なので
V=∬[x^2+y^2≦1] {e^(-x^2+2xy-5y^2)}dxdy
=∬[(2u+v)^2+v^2≦4] {e^(-u^2-v^2)}(1/2)dudv
=∬[u^2+(u+v)^2≦2] {e^(-u^2-v^2)}(1/2)dudv
u=rcos(t),v=rsin(t) (0≦r,a≦t≦a+2π)の変数変換をすると
ヤコビアン|J|=r
dudv=rdtdt
-u^2-v^2=-r^2
D={(u,v)|u^2+(u+v)^2≦2}
⇒{(r,t)|0≦r≦√2/√{cos^2(t)+(cos(t)+sin(t))^2},a≦t≦a+2π}
={(r,t)|0≦r≦√2/√{(3/2)+(1/2)cos(2t)+sin(2t)},a≦t≦a+2π}
={(r,t)|0≦r≦2/√{3+cos(2t)+2sin(2t)},a≦t≦a+2π}
={(r,t)|0≦r≦2/√{3+√5sin(2t+b)},a≦t≦a+2π},tan(b)=1/2
V=∫[a→a+2π]dt∫[0→2/√{3+√5sin(2t+b)}] re^(-r^2)dr
=∫[a→a+2π]dt[-(1/2)e^(-r^2)][0→2/√{3+√5sin(2t+b)}]
=(1/2)∫[a→a+2π] (1-e^(-4/{3+√5sin(2t+b)})) dt
=∫[a→a+π] (1-e^(-4/{3+√5sin(2t+b)})) dt
=π-∫[a→a+π] e^(-4/{3+√5sin(2t+b)}) dt
2t+b=2sと置換し,a=-b/2=-(1/2)arctan(1/2)と選ぶと
V=π-∫[0→π] e^(-4/{3+√5sin(2s)}) ds
この中の積分は困難なので数値積分すると
V=π-0.767139...
=2.37445...
となります。
No.4
- 回答日時:
ANo.3です。
少し追加です。>u=x-y,v=2yとおくと、
として式変形した後、積分領域も変更しなければならないようですが、
それが、(この質問では)積分領域がはっきり分からないので、確かめようがありませんでした。
極座標変換する前に、積分領域も変更するようにお願いします。
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