No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)sinα=3/5、cosβ=12/13のとき、sin(α+β)、cos(α-β)の値を求めよ。
>ただし、π/2<α<π、0<β<π/2とする。
cos^2α=1-sin^2α=1-(3/5)^2=16/25
π/2<α<πより、cosα<0だから、 cosα=-4/5
同様にして、0<β<π/2より、sinβ>0だから、sinβ=5/13
sin(α+β)=(3/5)×(12/13)+(-4/5)×(5/13)=
cos(α-β)=(-4/5)×(12/13)+(3/5)×(5/13)=
加法定理と計算の途中を確認して下さい。
>(2)tanπ/2=tのとき、sinx、cosx、tanxをtを用いて表せ。
もしも、tan(x/2)=tとすると、
2倍角の公式より、
>tan(x)=tan(2×x/2)
=2tan(x/2)/{1-tan^2(x/2)}
=2t/(1-t^2)
>sin(x)=sin(2×x/2)
=2sin(x/2)cos(x/2)
=2{sin(x/2)/cos(x/2)}×cos^2(x/2)
=2tan(x/2)×cos^2(x/2)
=2t×cos^2(x/2)
ここで、1+tan^2(x/2)=1/cos^2(x/2)より、
cos^2(x/2)=1/{1+tan^2(x/2)}
=1/(1+t^2)だから、
sin(x)=2t/(1+t^2)
>cos(x)=cos(2×x/2)
=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
=[{cos^2(x/2)-sin^2(x/2)}/cos^2(x/2)]×cos^2(x/2)
={1-(sin(x/2)/cos(x/2))^2}×cos^2(x/2)
=(1-tan^2(x/2))×cos^2(x/2)
=(1-t^2)/(1+t^2)
計算を確認して下さい。
No.2
- 回答日時:
(1)sin(α+β),cos(α-β)は共に加法定理で展開します。
それは大丈夫ですか?無理なら教科書に載っているので暗記するのをオススメします。その時に、sinαとcosβに問題文の値を代入するのですが、その他にsinβとcosαが出てしまうので、その値を別に求めます。
具体的には、sin^2(θ)+cos^2(θ)=1の公式(これも覚えていなければ覚えてください)に、sinαを代入すればcosαが、cosβを代入すればsinβが出てきます。
ただし、α、βの範囲がそれぞれ決まっているので、cosαとsinβの符号に注意してください。
(2)については、No.1の方のおっしゃる通り、解けません。
tan(π/2)となっているので、値としては無しになります。問題の写し間違いではないでしょうか?もう一度確認してみてください。
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