順序準同型について

≦をX上の順序、≦’をX’上の順序としてX’⊂Xとする。X’からXへの包含写像が<X’，≦’>から<X，≦>への順序準同型になるとき、≦は≦’の拡大になることの示し方を教えてください。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/05 17:38

a ≦' b が定義されていなかったら、

≦' は、順序ではなく半順序ということになる。

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2012/06/05 05:45

順序準同型=順序を保つ写像ならば

≦'が全順序でない場合は
≦は≦'の拡大になるとはかぎりません
X'={a,b}⊂X={a,b,c}
X上の順序を
(a≦a),(b≦b),(c≦c)
(a≦b),(a≦c),(b≦c)
X'上の順序を
(a≦'a),(b≦'b)
とすると
(a≦'a)→(a≦a)
(b≦'b)→(b≦b)
だから
X'からXへの包含写像が<X',≦'>から<X,≦>への順序を保つ写像になるが
a≦bだが
a,bの間の順序≦'が定義されていないので
a≦'bでないから
包含写像は順序同型でないので
≦は≦'の拡大ではありません

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/04 14:51

どこの部分が疑問なのか、よく判らない。

…というか、証明の必要があるとも思われない。

包含写像は単射だから、準同型ならば、値域上で同型。
これは、「制限」の定義そのものではないか。
「拡大」は「制限」の逆を指して言う。