【数列】

{aｎ}を数列とし、Sｎ=Σ(k=１～ｎ)aｋとする。

等式２aｎ=Sｎ+ｎ^2-４ｎ+3(ｎ=１、2，3、…)が成り立つとき、

(1)ａ１、ａ２を求めよ。

(2)ｂｎ=ａ(ｎ+1)-ａｎ+2とおくとき、数列{ｂｎ}の一般項は？

(3)数列{ａｎ}の一般項

(2)から自信がありません。

解き方をちゃんと知りたいので、教えてください!
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/08 10:05

＞{aｎ}を数列とし、Sｎ=Σ(k=１～ｎ)aｋとする。

＞等式２aｎ=Sｎ+ｎ^2-４ｎ+3(ｎ=１、2，3、…)が成り立つとき、

＞(1)ａ１、ａ２を求めよ。
２ａ1＝Ｓ1＋１^2－４×１＋３＝ａ1＋１^2－４×１＋３より、ａ1＝０
２ａ2＝Ｓ2＋２^2＋４×２＋３＝ａ1＋ａ２＋２^2－４×２＋３より、ａ2＝－１

＞(2)ｂｎ=ａ(ｎ+1)-ａｎ+2とおくとき、数列{ｂｎ}の一般項は？
２ａn＝Ｓn＋ｎ^2－４ｎ＋３
２ａn-1＝Ｓn-1＋（ｎ－１）^2－４（ｎ－１）＋３
左辺右辺同士引いて整理すると、
２ａn－２ａn-1＝（Ｓn－Ｓn-1）＋２ｎ－５
Ｓn－Ｓn-1＝ａnより、ａn＝２ａn-1＋２ｎ－５（ｎ≧２）
ｂn＝ａn+1－ａn＋２
＝｛２ａn＋２（ｎ＋１）－５｝－｛２ａn-1＋２ｎ－５｝＋２
＝２ａn－２ａn-1＋４
＝２（ａn－ａn-1＋２）
＝２ｂn-1
ｂn＝２ｂn-1
ｂ1＝ａ2－２ａ1＋２＝－１＋２×０＋２＝１　だから、
ｂnは初項１，公比２の等比数列　だから、
ｂn＝２^(n-1)（ｎ≧２）
ｎ＝１のとき、ｂ1＝２^0＝１だから、上の式を満たす。
よって、ｂn＝２^(n-1)

＞(3)数列{ａｎ}の一般項
ｂn-1＝ａn－ａn-1＋２，ｂn-1＝２^(n-2)　だから、
ａn－ａn-1＝２^(n-2)－２
ａn-1－ａn-2＝２^(n-3)－２
　………
ａ2－ａ1＝２^0－２
左辺右辺同士足し合わせると打ち消し合うから、
ａn－ａ1＝｛２^0＋……＋２^(n-2)｝－２（ｎ－１）
＝｛（２^(n-1)－１）／（２－１）｝－２ｎ＋２
＝２^(n-1)－２ｎ＋１
ａn＝ａ1＋２^(n-1)－２ｎ＋１
ａ1＝０だから、
ａn＝２^(n-1)－２ｎ＋１（ｎ≧２）
ｎ＝１のとき、ａ1＝２^0－２×１＋１＝０　だから上の式を満たす。
よって、ａn＝２^(n-1)－２ｎ＋１

どうでしょうか？計算を確認してみて下さい。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/06/08 08:48

設問１を、どのように解かれましたか？