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距離空間Xの閉集合族Fについて
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・(※)

( [  ]はすぐ左の記号の右下あるいは真下の添字のつもりです)


開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O

が成り立つことと、ドモルガンの法則を使って証明したいんですが、
それには※で(後者の否定)ならば(前者の否定)を示せばいいんでしょうか?

よろしくおねがいします。

A 回答 (1件)

(後者の否定)から(前者)を導き出せばいいんです。




開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O
∪[λ∈Λ] O[λ]部分の補集合(あなたの言葉にしたがうと《否定》)をとる。
するとドモルガンの法則より
 ∩[λ∈Λ] (O[λ]の補集合)
 ∪[λ∈Λ] O[λ]∈Oだから
 ∪[λ∈Λ] O[λ]は開集合
開集合の補集合(否定)は閉集合になるので、
 ∩[λ∈Λ] (O[λ]の補集合)は閉集合である。
さらに、
 F[λ] = (O[λ]の補集合)
とすれば、目的の
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・(※)

が得られるみたいな感じです。

閉集合族Fから開集合族Oを導き出すこともできます。
たとえば、
”距離空間Xの閉集合族Fについて
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・(※)”
を使って
”開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O”
を導き出すこともできます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2012/07/04 20:03

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