No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(後者の否定)から(前者)を導き出せばいいんです。
開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O
∪[λ∈Λ] O[λ]部分の補集合(あなたの言葉にしたがうと《否定》)をとる。
するとドモルガンの法則より
∩[λ∈Λ] (O[λ]の補集合)
∪[λ∈Λ] O[λ]∈Oだから
∪[λ∈Λ] O[λ]は開集合
開集合の補集合(否定)は閉集合になるので、
∩[λ∈Λ] (O[λ]の補集合)は閉集合である。
さらに、
F[λ] = (O[λ]の補集合)
とすれば、目的の
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・(※)
が得られるみたいな感じです。
閉集合族Fから開集合族Oを導き出すこともできます。
たとえば、
”距離空間Xの閉集合族Fについて
{F[λ]| λ∈Λ}∈Fならば∩[λ∈Λ] F[λ]∈F・・・・(※)”
を使って
”開集合族Oについて
O[λ]| λ∈Λ}∈Oならば∪[λ∈Λ] O[λ]∈O”
を導き出すこともできます。
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