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求め方をド忘れ下ので…

xy平面上の点(2,0)を中心とする半径1の円を、y軸の周りに回転してできる体積

を求めようとしています。
パップス・ギュルダンの定理を用いず、積分の基本形だけを用いて解く方法がありましたでしょうか。

gooドクター

A 回答 (5件)

>立体空間における偏角表示について不案内です。



ぞれほぞ難しくはありません。

(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R)

は (x, z) = (a+rcosφ, rsinφ) (θ=0~2π, r = 0~R) を Z軸を中心にくるりと回転したものです。
(x, z) = (a+rcosφ, rsinφ) (θ=0~2π, r = 0~R) は中心が (a, 0) で半径が R の
円盤です。ですから、くるりとやればトーラスになります。
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この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございます。

お礼日時:2012/06/25 19:06

No.1 補足



(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R)

の体積素の求め方ですが、この式は円(r, φ)の回転(θ)なので
r, φ, θ3軸がx, y, z座標上のあらゆる点でで直交しているのは自明。
dr, dφ, dθのx, y, z座標上での長さはそれぞれ、dr, rdφ, (a+rcosφ)dθ
なので 体積素 dv = (a+rcosφ)r dθdφdr

というのが簡単だと思います。

本式でやるなら、ヤコビアンか計量テンソルから体積素の係数((a+rcosφ)r)を求めるのが
よいでしょう。
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対称性を利用して


V=16∫[0→π/4] dθ∫[1→3] √{(1^2)-(2-r)^2} rdr
=4π∫[1→3] √{(1-(r-2)^2} rdr
r-2=tで置換
V=4π∫[-1→1] √(1-t^2) (t+2)dt
=4π∫[-1→1] t√(1-t^2)dt+8π∫[-1→1] √(1-t^2)dt
=16π∫[0→1] √(1-t^2)dt
t=sin(u)(0≦u≦π/2)で置換
V=16π∫[0→1] √(1-t^2)dt
=16π∫[0→π/2] cos^2(u)du
=8π∫[0→π/2] 1+cos(2u)du
=4π^2

この回答への補足

V=16∫[0→π/4] dθ∫[1→3] √{(1^2)-(2-r)^2} rdr

の部分が、まずよく分かりません。
解説をお願いいたします。

補足日時:2012/06/15 12:00
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回転体の体積の公式


V=π∫y^2dx
を使えば、xとyが逆になっていますが、
V=π∫[-1,1](2+√(1-y^2))^2dy-π∫[-1,1](2-√(1-y^2))^2dy
=8π∫[-1,1]√(1-y^2)dy
=4π^2  (∵∫[-1,1]√(1-y^2)dyは半径1の円の面積の半分)

この回答への補足

V=π∫y^2dx
は分かるのですが、
おそらく「ドーナツの内側をくり抜く」
ためにされている演算がよく分かりません。解説をお願いいたします。

補足日時:2012/06/15 11:53
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(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R)



とすると、体積素 = (a+rcosφ)r dθdφdr

なので、体積 = ∫(a+rcosφ)rdrdφdθ(θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R) = 2π^2aR^2

a=2, R=1 とすると 4π^2

だと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、高等数学をしっかり学んでいないので、立体空間における偏角表示について不案内です。すみません。

お礼日時:2012/06/15 11:49

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