No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>立体空間における偏角表示について不案内です。
ぞれほぞ難しくはありません。
(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R)
は (x, z) = (a+rcosφ, rsinφ) (θ=0~2π, r = 0~R) を Z軸を中心にくるりと回転したものです。
(x, z) = (a+rcosφ, rsinφ) (θ=0~2π, r = 0~R) は中心が (a, 0) で半径が R の
円盤です。ですから、くるりとやればトーラスになります。
No.4
- 回答日時:
No.1 補足
(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R)
の体積素の求め方ですが、この式は円(r, φ)の回転(θ)なので
r, φ, θ3軸がx, y, z座標上のあらゆる点でで直交しているのは自明。
dr, dφ, dθのx, y, z座標上での長さはそれぞれ、dr, rdφ, (a+rcosφ)dθ
なので 体積素 dv = (a+rcosφ)r dθdφdr
というのが簡単だと思います。
本式でやるなら、ヤコビアンか計量テンソルから体積素の係数((a+rcosφ)r)を求めるのが
よいでしょう。
No.3
- 回答日時:
対称性を利用して
V=16∫[0→π/4] dθ∫[1→3] √{(1^2)-(2-r)^2} rdr
=4π∫[1→3] √{(1-(r-2)^2} rdr
r-2=tで置換
V=4π∫[-1→1] √(1-t^2) (t+2)dt
=4π∫[-1→1] t√(1-t^2)dt+8π∫[-1→1] √(1-t^2)dt
=16π∫[0→1] √(1-t^2)dt
t=sin(u)(0≦u≦π/2)で置換
V=16π∫[0→1] √(1-t^2)dt
=16π∫[0→π/2] cos^2(u)du
=8π∫[0→π/2] 1+cos(2u)du
=4π^2
この回答への補足
V=16∫[0→π/4] dθ∫[1→3] √{(1^2)-(2-r)^2} rdr
の部分が、まずよく分かりません。
解説をお願いいたします。
No.1
- 回答日時:
(x, y, z) = ((a+rcosφ)cosθ, (a+rcosφ)sinθ, rsinφ) (θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R)
とすると、体積素 = (a+rcosφ)r dθdφdr
なので、体積 = ∫(a+rcosφ)rdrdφdθ(θ=0~2π, φ=0~2π, r = 0~R) = 2π^2aR^2
a=2, R=1 とすると 4π^2
だと思います。
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